Лекция 2. Движение
«Джордж, эти скачки действуют мне на не¬рвы, — жалуется Ленни. — Неужели время такое дерганное? Не может ли все происходить чуть более гладко?»
Джордж на секунду задумался, стер с доски и произнес: «О’кей, Ленни, давай сегодня раз¬беремся с системой, которая делает изменения плавными».
Математическая интерлюдия: дифференциальное исчисление
В этой книге мы в основном будем рассматривать из-менение различных величин во времени. По большей части классическая механика имеет дело с вещами, которые меняются плавно — непрерывно, как говорят математики. В динамических законах, описывающих изменение состояния, будут фигурировать непрерыв¬ные изменения времени, а не дискретные, как в пер¬вой лекции. Таким образом, нас будут интересовать функции независимой переменной t.
Для работы с непрерывными величинами служит математический анализ. Этот раздел математики за-нимается пределами, так что давайте сразу познако-мимся с этим понятием. Пусть у нас имеется после-довательность чисел: 1\, І2, Із, …, которая все ближе и ближе подходит к некоему числу L. Вот пример: 0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, … Предел этой последовательно¬сти равен 1. Ни один элемент этой последовательности не равен 1, но они все ближе и ближе приближается к этому значению. Чтобы выразить это, мы исполь¬зуем запись
lira ^ = L.
І—>оо
Читается: L является пределом lh при і, стремящемся к бесконечности.
Ту же идею можно применить к функциям. Пусть задана функция f(t) и мы хотим описать, как она ме-няется, когда t становится все ближе и ближе к опре-деленному значению, скажем к а. Если f(t) подходит сколь угодно близко к L, когда t приближается к а, то будем говорить, что предел /(£), при t, стремящемся к а, равен L. Или в виде формулы
lim/(£) — L.
t^a
Пусть f{t) — некая функция переменой t. Когда меняется t, меняется и fit). Дифференциальное ис-числение занимается вопросом о скорости изменения таких функций. Все начинается с того, что мы берем f(t) в какой-то определенный момент, а затем немно¬го изменяем время и смотрим, насколько изменится fit).
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
