Насколько длинным может быть это выражение? Если п — целое, формула оборвется на (п + 1)-м члене. Но биномиальная теорема носит более общий характер; на самом деле п может быть любым вещественным или комплексным числом. Правда, если п нецелое, выражение никогда не обрывается — оно представляет собой бесконечный ряд. К счастью, для наших целей важны только первые два члена.
Все, что нужно для вычисления (t + At)n, — это выполнить подстановку a = tnb-Atn получить
f(t + At) = (t + At)n =
= tn + ntn~lAt + …
Все члены, обозначенные многоточием, в пределе стремятся к нулю, и ими можно пренебречь.
Теперь вычтем f(t) (или tn):
Af = f(t + At)-f(t) = = tn+ntn~1 At +
піп-1) „ „
+_V Ltn~2At2+…-tn =
2
устремляем At —» 0 и получаем производную
Важный момент заключается в том, что данная фор¬мула верна даже для нецелого п; п может быть любым вещественным или комплексным числом.
А вот производные для некоторых специальных случаев: если п = 0, то f(t) просто равняется числу 1. Производная равна нулю, как и для любой функции, значение которой не меняется. Если п = 1, f(t) = t, а производная будет равна 1 — так всегда бывает, когда берется производная чего-либо по самому себе. Вот производные некоторых степенных функций:
dt
Еще ряд производных, которые пригодятся нам в бу-дущем:
d(sinf)
— = cos t,
dt
d(cosf)
-sin t,
dt
(2)
d(e*) dt
d(\nt) 1
Небольшой комментарий относительно третьей из этих d(ef)
формул — —-—- = . Смысл е1 вполне ясен для це-
dt
лых t. Например, е3 = е х е х е. Для нецелых значений аргумента он не столь очевиден. По сути, функция е( и определяется тем свойством, что ее производная равна самой себе. Так что третья формула на самом деле — определение.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
