Теперь посмотрим на уравнение (2). Допустим, мы смещаем qi, но не трогаем q2. В этом случае лагран¬жиан изменяется, поскольку меняется потенциальная энергия. Но если мы сдвинем на одинаковую величину обе координаты, так что разность q\ — q2 не поменяет¬ся, то значение лагранжиана останется неизменным. Мы говорим, что лагранжиан является инвариантом по отношению к преобразованиям
?i -> 7i + $,
(6)
q2 —» q2 + 5.
Можно сказать, что лагранжиан симметричен отно-сительно преобразований, заданных уравнениями (6). Тут мы вновь имеем дело с трансляционной симметри¬ей, но в данном случае для сохранения симметрии не-обходимо смещать обе частицы так, чтобы расстояние между ними оставалось неизменным.
В более сложном случае (3), где потенциал зависит от aqi — bq2, симметрия не столь очевидна. Вот соот-ветствующие преобразования:
qi-*Qi- Ь8,
УПРАЖНЕНИЕ Ш:
Покажите, что комбинация aqi + bq2 и соот-ветствующий лагранжиан инвариантны отно-сительно преобразований (7).
Если потенциал является функцией более сложной комбинации переменных, то не всегда ясно, будет ли иметь место симметрия. Чтобы продемонстрировать более сложную симметрию, вернемся к декартовым координатам частицы, движущейся в плоскости ху. Пусть эта частица имеет потенциальную энергию, которая зависит от расстояния до начала отсчета:
L = — (я2 + j/2)-F(x2 +у2). (8)
2
Совершенно очевидно, что уравнение (8) обладает симметрией. Представьте себе поворот пространства конфигураций вокруг начала отсчета на угол 0 (рис. 2).
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
