Остановимся и рассмотрим связь этих уравнений с самой первой лекцией нашей книги, где мы описы¬вали, как детерминистичные законы физики предска¬зывают будущее. Уравнения (12) говорят нам:
Если в любой момент вы знаете точные значе-ния всех координат и импульсов, а также форму гамильтониана, то уравнения Гамильтона да¬дут вам соответствующие значения в бесконеч¬но близкий момент в будущем. Применяя их шаг
за шагом, вы можете построить траекторию в фазовом пространстве.
Гамильтониан гармонического осциллятора
Гармонический осциллятор — это, безусловно, самая важная простая система в физике. Он описывает все виды колебаний, в которых одна из степеней свободы возмущена и затем осциллирует вокруг положения равновесия. Чтобы понять, почему это так важно, до-пустим, что степень свободы q имеет потенциальную энергию V(q), обладающую минимумом. Этот минимум описывает устойчивое равновесие, и когда степень свободы возмущается, она стремится вернуться к по-ложению равновесия. Фактически без всякой потери общности мы можем поместить минимум в q — 0. Обще¬го вида функция, имеющая минимум в этой точке, мо¬жет быть аппроксимирована квадратичной функцией
V(q) = V(0) + cq2, (13)
где F(0) и с — константы. Причина, по которой нет
линейного члена, пропорционального q, в том, что dV
производная должна быть равна нулю в миниму-
dq
ме. Мы можем также отбросить член У(0), поскольку добавление константы к потенциальной энергии ни на что не влияет.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
