Обобщенные координаты и импульсы
В декартовых координатах нет ничего исключитель¬ного. Существует много систем координат, которые можно использовать для описания разных механиче¬ских систем. Допустим, к примеру, что мы собираем¬ся изучать движение объекта, перемещающегося по сфере, скажем по земной поверхности. В этом случае декартовы координаты не слишком удобны. Гораздо естественнее задавать координаты двумя углами — широтой и долготой. Еще более общим примером может быть объект, катящийся по поверхности про¬извольного вида, подобной холмистому ландшафту. В этом случае может и не быть никакой предпочти¬тельной системы координат. Вот почему важно пред¬ставить уравнения классической механики в общем виде, чтобы они были применимы к любой системе координат.
Рассмотрим абстрактную задачу, в которой система задается обобщенным набором координат. Обычно мы используем обозначения xt для декартовых координат. Обобщенные координаты обозначаются qt. Они могут быть и декартовыми, и полярными, и любыми други¬ми, какие мы только сможем придумать.
Также нам нужно задавать скорости, которые в этой абстрактной ситуации будут производными обобщенных координат qt по времени. Начальные усло¬вия представляют собой набор обобщенных координат И скоростей (<7;, <7/).
В обобщенной системе координат уравнения дви-жения могут усложняться, но принцип наименьшего действия применим всегда. Все системы классической физики — даже волны и поля — описываются лагран-жианами. Иногда лагранжиан вычисляется на основе каких-то предварительных знаний. Примером может служить вычисление лагранжиана Джорджа по извест-ному лагранжиану «Пенни. Иногда вид лагранжиана задается на основании определенных теоретических
установок или принципов, а порой мы выводим его из эксперимента. Однако как бы мы его ни получили, лагранжиан аккуратно сводит все уравнения движения в один простой набор.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
