Чтобы прояснить этот момент, нарисуем про-странственно-временную диаграмму (рис. 2). По го-
ризонтальной оси откладывается положение частицы (или мяча), а по вертикальной — время. Начало и конец траектории — это пара точек на данной пространственно-временной диаграмме, а сама траек-тория — кривая, соединяющая эти точки.
Два варианта постановки задачи о движении ана-логичны двум способам задания прямой в простран¬стве. В одном случае мы можем попросить построить прямую, идущую из заданной точки в определенном направлении. Это аналог траектории, заданной началь-ным положением и скоростью. Или можно попросить провести прямую, соединяющую две конкретные точ¬ки. Это уже аналог поиска траектории, начинающейся в одной точке и заканчивающейся в другой спустя заданное время. Во второй форме задача похожа на во-прос о том, как нацелить прямую из начальной точки, так, чтобы она прошла через конечную. Ответ: надо найти кратчайший путь между точками. Для задачи классической механики ответ состоит в том, чтобы найти путь со стационарным значением действия.
Действие и лагранжиан
Для формулировки принципа наименьшего действия требуются в точности те же параметры, которые ис-пользуются в ньютоновских уравнениях. Необходимо знать массы частиц и потенциальную энергию. Дей¬ствие для траектории — это интеграл, который берется от начала траектории в момент to до ее конца в момент t\. Я скажу вам только, что это за интеграл, но не почему он такой, а затем мы изучим следствия его минимизации . В результате получатся ньютоновские уравнения. Едва только вы увидите, как это работает, потребность в каких-либо дальнейших мотивировках отпадет. Если все эквивалентно уравнениям Ньютона, какие еще нужны обоснования?
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
