УПРАЖНЕНИЕ 5
Выведите уравнение движения математического маятника длиной I, описывающего дугу в пло-скости х, у с начальным углом 0.
До сих пор наши примеры были совершенно триви-альными. Лагранжева формулировка красива, элегант¬на и т. д., и т. п., но действительно ли она хороша для решения трудных задач? Не лучше ли нам попросту использовать F = та?
Попробуйте. Вот пример — двойной маятник. Ма-ятник, закрепленный в начале координат, качается в плоскости ху. Стержень маятника невесом, а груз на его конце имеет массу М. Для простоты пусть стержень имеет длину 1 метр, а груз — массу 1 кило¬грамм. Теперь возьмем еще один такой же маятник, но закрепим его на грузе первого маятника, как по¬казано на рис. 3. Мы можем рассмотреть два случая: с гравитационным полем и без него.
•
г
Рис. 3. Двойной маятник
Нашей целью будет не решение уравнений движе-ния. Это мы всегда можем сделать, пусть даже просто запрограммировав компьютер и решив их численно. Цель состоит в том, чтобы найти эти уравнения. Это непростая задача, если пытаться решать ее, отталки-ваясь от F = Ма. Среди прочего придется определять силы, передаваемые стержнями. Метод, основанный на лагранжиане, намного проще. Для этого имеется более или менее механическая процедура. Вот ее по¬шаговое описание:
1. Выберите систему координат, которая одно¬значно описывает конфигурацию всех компонентов. Можете взять любую систему на свой вкус, главное убедиться, что ее достаточно для описания конфигу¬рации, и пусть она будет как можно более простой.
В примере с двойным маятником вам понадобятся две координаты. В качестве первой я выберу угол на¬клона первого маятника к вертикали. Обозначим его 0. Далее у меня есть выбор. Следует ли мне второй угол (задающий положение второго стержня) также отсчи¬тывать от вертикали, или же мне лучше измерять его от направления первого стержня? Ответ: это не имеет значения. Один из вариантов может сделать уравнения немного проще, но оба приведут вас к нужному ответу. Я предпочту измерять угол а относительно первого стержня, а не относительно вертикали.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
