Рис. 6. Сечение, параллельное оси х
Похоже, что в точке минимума производная А по х обращается в нуль:
С другой стороны, сечение можно было бы ориентиро¬вать параллельно оси у, и тогда мы получили бы, что
Условием минимума и, вообще говоря, любой стацио-нарной точки является обращение в нуль обеих про-изводных. Если бы у пространства, на котором задана функция А, было бы больше измерений, то условием стационарности точки было бы
для всех хг.
Существует сокращенная форма записи этих урав-нений. Обратим внимание, что изменение значения функции при небольшом изменении X/ задается урав-нением
Система уравнений (3) эквивалентна условию
(4)
при любых небольших вариациях х.
Допустим, мы нашли такую точку. Как определить, что это — минимум, максимум или седло? Ответ дает обобщение критерия, используемого в случае функции одной переменной. Смотрим на вторые производные. Однако вторых частных производных существует не-сколько. В двумерном случае их четыре:
д2А
дх2
д2А
ду2 ’
д2л дхду
и
д2А дудх ’
причем две последние — одинаковы.
Эти частные производные часто сводят в специаль-ную матрицу, называемую матрицей Гессе:
дхду
д2А
д2А д2А дх2 д2А
ду дх ду2
Важную роль играют величины, называемые опреде-лителем и следом этой матрицы. Определитель этой матрицы (гессиан) вычисляется по формуле
д2А д2А д2А д2А
Det Я
дх2 ду2 дудх дхду а след задается выражением
Тг Н =—- + — дх2 ду2
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
