Поток и дивергенция
Рассмотрим некоторые простые примеры течения жидкости в обычном пространстве. Забудем на время о фазовом пространстве и просто рассмотрим обычную жидкость, движущуюся в привычном трехмерном пространстве с осями, обозначенными как х, у, г. По¬ток можно описать полем скоростей. Поле скоростей v(x,y,z^) определяется заданием в каждой точке про-странства вектора скорости (рис. 2).
Можно также описать поле скоростей компонента¬ми скорости: vx(x,y,z), vy (x,y,z), vz (х,г/,г). Также скорость в точке может зависеть от времени, но да¬вайте будем считать, что этой зависимости нет. В этом случае течение называется стационарным.
Теперь предположим, что жидкость несжимаема. Это означает, что определенное количество жидкости всегда
Рис. 2. Поле скоростей
занимает одинаковый объем. Это также значит, что плотность жидкости — число молекул в единице объема — везде одинакова и неизменна во времени. Кстати, термин «несжимаемость» означает также и нерастяжимость. Иными словами, жидкость не мо¬жет увеличиваться в объеме. Рассмотрим небольшую кубическую ячейку, заданную условиями:
х0 < х < х0 + dx, yo<y<yo+dy,
Х0 < Z < Z0 + dz.
Несжимаемость подразумевает, что число точек жид¬кости в каждой такой ячейке постоянно. Это также означает, что суммарный поток жидкости, входящий в ячейку (в единицу времени), должен быть нулевым. (Сколько точек потока входит, столько же и выходит.) Рассмотрим число молекул, проходящих в единицу
времени через поверхность ячейки X = Хо. Оно будет пропорционально скорости потока на этой поверх¬ности и*(хо).
Если скорость vx одинакова в х0 и в хо + dx, то поток в ячейку через х = Xq будет таким же, как по¬ток ИЗ нее через X = Хо + dx. Но если их меняется на протяжении ячейки, то эти два потока окажутся несбалансированными. Совокупный поток, идущий в ячейку через эти две грани, будет пропорционален
—-dx dydz.
дх
Точно такие же рассуждения применимы к граням г/0 и уо + dy, а также го и г0 + dz. Если все их сложить, то суммарный поток молекул внутрь ячейки (приток минус отток) составит
dxdydz.
v дх ду dz j
Комбинация производных в скобках носит название дивергенции векторного поля v[t) и обозначается
Один из способов понимания несжимаемости состо¬ит в том, чтобы представлять себе каждую молекулу или точку как занимающую объем, который не может быть изменен. Их нельзя сжать в меньший объем, они не исчезают и не появляются ниоткуда. Немного подумав, можно увидеть, как похожи несжимаемость и обратимость. В примерах, которые мы разбирали в лекции 1, стрелки тоже определяли своего рода поток. И по сути этот поток был несжимаемым, по крайней мере если он был обратим. Естественный во¬прос, который отсюда вытекает: является ли поток в фазовом пространстве обратимым? Ответ — да, если система удовлетворяет уравнениям Гамильтона. И те¬орема, выражающая эту несжимаемость, называется теоремой Лиувилля.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
