В последней замене есть одна тонкость. Поскольку мы собираемся рассматривать сумму по малым интер¬валам между соседними мгновениями, то необходимо выражение для положения на полпути между ними. Его нетрудно получить. Просто заменим x(t) средним положением между двумя соседними:
Xlt) = Xn+Xn+1 . v ’ 2
Обратите внимание, что всюду, где в лагранжиане
Xj*+1 X л
встречается х , я подставил —, а х заменил
хп + xn+i At
~~2
Полное значение действия находится путем сложе¬ния вкладов от всех интервалов:
N
At. (3)
At 2
и-
Я в максимально явном виде разложил действие на составляющие, почти как если бы писал компьютер¬ную программу для его вычисления.
Теперь допустим, что мы хотим минимизировать действие, варьируя любое одно значение хп и прирав¬нивая результат к нулю. Выберем из этих значений, скажем, Xg (любое другое было бы ничем не хуже). Это может показаться очень сложным, но заметьте,
ЧТО Xg появляется только в двух членах формулы (3). Вот эти два члена, содержащие xg:
ґ *9-Xg XS+XQ^
At ’ 2
Xg -x7 X~i + x8
At.
At 2
Нам остается лишь продифференцировать действие по Xg. Отметим, что xg появляется в каждом члене двумя способами: через выражение для скорости и через вы-ражение для х. Производная А по х8
8А 1 f dL dL \
дх8 At к дх _|
л=9 дх п=8 у
+
1 ( 8L 8L \
_| н
2 удх л=8 дх п=9 у
Обозначение |„=8 предписывает определить значение функции в дискретный момент п = 8.
Для минимизации действия в отношении вари¬аций xg мы приравняем dA/dx к нулю. Но прежде чем это сделать, давайте посмотрим, что случится с dA/dx в пределе, когда At стремится к нулю. Начнем с первого члена:
і г 6L dL \
At V дх _|
п=9 д* п=8 у
Он представляет собой разность между величинами, со-ответствующими двум соседним моментам п = 8 и п = 9,
деленную на малый интервал между ними. Очевидно, что эта величина стремится к производной, а именно
d 8L
1 г dL dL
_| \
At V dx n=9 5* n=8 j
—> —
і ‘ dL dL \
2 кдх _j_
»=8 dx n-9 J
также является простым пределом. Это полусумма
dL
значений , взятых в соседние моменты. Когда ин-
дх
тервал между ними устремляется к нулю, мы получаем дЬ
просто
дА
= 0 переходит в уравнение Эйлера—
дх8
d dL дЬ
= 0.
dt дх дх УПРАЖНЕНИЕ 1
Покажите, что уравнение (4) является просто другой формой ньютоновского уравнения дви-жения F = та.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
