Форма уравнения (13) не слишком общая; V может содержать члены всех порядков, например q3 или q4.
Но система отклоняется от q = 0 лишь на малую вели¬чину, эти члены высших порядков будут ничтожными в сравнении с квадратичным членом. Это рассуждение применимо ко всем типам систем: пружинам, маят¬никам, звуковым колебаниям, электромагнитным волнам и т. п.
Я запишу лагранжиан в специальной, как может показаться, форме, содержащей единственную кон¬станту, обозначаемую со:
L = — g2-—q2. (14)
2со 2
УПРАЖНЕНИЕ 1
тт тх2 k 0
Начните с лагранжиана х* и пока-
2 2
жите, что если выполнить замену переменных q = (kmf 4 х, то этот лагранжиан примет такую же форму, как в уравнении (14). Какова связь между k, т и со?
УПРАЖНЕНИЕ 2
Отталкиваясь от уравнения (14), выразите га-мильтониан в терминах р и q.
Гамильтониан, соответствующий уравнению (14), очень прост:
H=^(p2+q2)- (15)
Именно для того чтобы получить Н в столь простой форме, мы в упражнении 1 выполнили замену пере¬менной х на q.
Одна из отличительных особенностей гамильто¬новой формулировки — симметричность вхождения в нее дг и Pi. В случае гармонического осциллятора наблюдается почти полная симметрия. Единственная асимметрия — это знак «минус» в первом из уравнений (12). Для единственной степени свободы гамильтоновы уравнения приобретают форму (11). Если подставить наш гамильтониан (15) в уравнения (12), то получится
Pi =
(16)
qt = сор.
Как эти два уравнения соотносятся с уравнениями Лагранжа, которые можно вывести из (14)? Прежде всего существует только одно лагранжево уравнение:
q = -co2q. (17)
Далее, это уравнение второго порядка, то есть в него входит вторая производная по времени. В этом его от¬личие от гамильтоновых уравнений, которые все имеют первый порядок. Это означает, что два уравнения перво¬го порядка в каком-то смысле эквивалентны одному уравнению второго порядка, что можно показать, про-дифференцировав по времени второе из уравнений (16)
(ji = сор,
а затем применив первое из тех же уравнений. Оно позволит нам заменить р на -соq и получить урав¬нение движения Эйлера—Лагранжа (17).
Какая из этих формулировок лучше? Кто сказал последнее слово: Лагранж или Гамильтон? Вы можете решить это самостоятельно, но подождите немного. Нам надо освоить еще пару курсов — теорию отно¬сительности и квантовую механику, — прежде чем полностью раскроется подлинный смысл лагранжиана и гамильтониана.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
