Теоретический минимум

Комментариев нет »

Математическая интерлюдия. Символ Леви-Чивиты
Одно хорошее обозначение стоит множества символов, особенно если оно появляется снова и снова. Пример тому дельта-символ Кронекера 8,у. В этом разделе я введу еще оно обозначение — символ Леви-Чивиты, который также называют є-символом Єу*. Как и в слу¬чае символа Кронекера, символы i, j, k соответствуют трем направлениям пространства, а именно х, у, z, или 1, 2, 3. Символ Кронекера принимает два значе¬ния — 1 или 0 — соответственно в случаях і = j и і * j, а є-символ принимает одно из трех значений — 0, 1
ИЛИ -1. ПраВИЛО ДЛЯ Єу* НеМНОГО СЛОЖНее, ЧЄМ ДЛЯ 5ij.
Прежде всего Eijk = 0, если любые два индекса со-впадают. Например, єт и е223 равны нулю. Отличен от нуля символ Eijk только в том случае, когда все три индекса различны. Имеется шесть таких возможно¬стей: Єі2з, Є2зі» єзі2> є2із> Єіз2> Єз2і- Первые три из них имеют значение 1, а вторые три — — 1.
Чем различаются эти два случая? Вот один из спо-собов это описать. Расположим три числа 1, 2, 3 на окружности, как на трехчасовом циферблате (рис. 1).

Рис. 1. Круговое расположение чисел 1,2 и 3
Начнем с любого из этих трех чисел и пойдем по ча-совой стрелке. Мы получим (123), (231) или (312) в за-висимости от точки старта. Если осуществить такой же обход против часовой стрелки, получится (132), (213) или (321). Правило для символа Леви-Чивиты состоит в том, что єQh = 1 для последовательностей, получа¬ющихся при обходе по часовой стрелке, и Єу* = -1 — для получающихся в противоположном направлении.
Возвращаемся к угловому моменту
Теперь с помощью е-символа можно записать СП для всех координат и всех компонент L в виде
| — хк. (20)
k
Допустим, например, что надо узнать {у, Lx}. Соотнеся
1, 2, 3 с х, у, г и подставив в уравнение (20), получим
{X2,LI} = Є213Х3.
Поскольку 213 — последовательность, идущая против часовой стрелки, Є213 = -1, так что
[x2,Li] — -х3.
Рассмотрим другой набор СП, а именно от pt с ком-понентами L. Их нетрудно вывести и выразить с ис-пользованием е-символа
\Pi ’ Lj} — УгіікРк. k
Например,
{PxiLz} = -Py.
Стоит отметить, что СП от компонент р и L имеет в точности тот же вид, что и от компонент х и L. Это интересно, поскольку компоненты р их одинаково преобразуются при вращении системы координат. Точно так же как 5х ~ -у при вращении вокруг оси г, вариация рх пропорциональна -ру.
В этом заключен очень глубокий смысл. Утвержда-ется, что для вычисления изменения любой величины при вращении системы координат надо найти скобку Пуассона от этой величины с угловым моментом. Для поворота вокруг і-й оси
SF = {F,Z,}. (21)
Угловой момент является генератором вращения.
Мы еще вернемся к этой теме и глубокой связи между преобразованиями симметрии, скобками Пу¬ассона и сохраняющимися величинами, но сначала я хочу объяснить, как СП помогает формулировать и решать задачи.