Поскольку потенциал является функцией только расстояния от начала отсчета, он не меняется, когда система поворачивается на некоторый угол. Более
того, кинетическая энергия тоже не изменяется при вращении. Вопрос состоит в том, как выразить такое изменение. Ответ ясен — простым вращением коор¬динат:
х —> х cos 0 + у sin 0,
(9)
у —» -х sin 0 + у COS 0,
где 0 — произвольный угол.
И тут мы подошли к важному моменту, касающе¬муся преобразований трансляции (переноса) и враще¬ния. Выполнять их можно малыми — бесконечно ма¬лыми — шагами. Например, вместо переноса частицы из х в х + 1 можно переместить ее из х в х + 8. Тут я уже использую 5 для обозначения бесконечно малой величины. Фактически можно скомпоновать исходное перемещение х —> х + 1 из множества крошечных ша¬гов размером 6. То же верно и в отношении вращения. Подобные преобразования называются непрерывными. Они зависят от непрерывного параметра (угла пово¬рота), и, более того, этот параметр можно сделать бесконечно малым. Вы убедитесь, что это очень хо¬рошее свойство, поскольку оно позволяет изучать все следствия непрерывных симметрий, сконцентрировав внимание на случае бесконечно малой величины.
Поскольку конечные преобразования можно со¬ставить из бесконечно малых, при изучении симме¬трий достаточно рассматривать лишь очень малые изменения координат, так называемые бесконечно малые преобразования. Так что давайте рассмотрим,
что произойдет с уравнениями (9), когда угол 0 заме-няется бесконечно малым углом 8. В первом порядке по 8 получаем
cos 8=1, sin 8 = 8.
(Напомню, что для малых углов sin 8 = 8, a cos 5 = 1 ——82, так что в первом порядке приближения изменения косинуса не происходит, а изменение синуса стано¬вится равным 8.)
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
