В обобщенном виде такая зависимость вы-ражается как
(1)
где зависимость от t относится ко всем параметрам, определяющим поведение системы и меняющимся со временем.
С учетом этого понимания мы можем теперь сфор-мулировать сжатый математический критерий сим-метрии по сдвигу во времени: система инвариантна относительно сдвига во времени, если в ее лагранжиане нет явной зависимости от времени.
Сохранение энергии
Давайте рассмотрим, как фактическое значение ла-гранжиана (1) меняется в ходе эволюции системы.
Проанализируем различные члены формулы (2) с ис-пользованием уравнений движения Эйлера—Лагран¬жа. Члены первого типа ^-qt можно записать в форме
dqt
Ъ^РгЪ-
Члены второго типа qt приобретают вид
dqt dL ..
—qi=Piqi-
dqi
Если все это объединить, то получится dL \~л / . .. \ 3L
л»?(м,+й®)+вГ
Первые два члена можно дополнительно упростить. Воспользуемся равенством
и получим
зависеть от времени за счет первого члена
Вывод состоит в том, что не существует такой вещи,
как сохранение лагранжиана.
Анализ уравнения (3) позволяет выяснить кое-что интересное. Если ввести новую величину Н
(4)
то (3) приобретает исключительно простую форму:
dH dL
dt dt
Выкладки, приводящие к уравнению (5), могут по-казаться немного сложноватыми, но результат очень прост. Новая величина Н меняется во времени, только если лагранжиан имеет явную зависимость о времени. Еще интереснее отметить, что если система инвари-антна относительно сдвига во времени, то величина Н сохраняется.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
