Пусть нам надо вычислить
{■qn,p}> (9)
где для простоты я предполагаю, что у системы име¬ется лишь по одной координате q и р. Я сначала дам ответ, а потом докажу его. Итак, ответ:
{qn,p} = nq(n~l\ (10)
Метод доказательства такого рода формул основывает¬ся на использовании математической индукции. Он включает два шага. Первый (индукционный переход) состоит в том, чтобы, предположив, что ответ верен для п (это база индукционного перехода, выражен¬ная уравнением (10)), доказать его правильность для п + 1. Второй шаг состоит в явном доказательстве базы индукции в целом, то есть для п = 1.
Итак, заменим п на п + 1 и запишем уравнение (9) с учетом свойства (6):
{q(n+l\p) = {q-qn,p} =
= q{qn,p}+qn{q,p}-
Далее применим свойство (8), которое в данном случае сводится к {q,p} = 1:
{q[n+1\p} = {q-qn,p} =
= q{qn>p}+qn-
Теперь используем базу индукции (10) и получим
{q{n+1lp} = {q-qn,p} =
= qnq(n~y +qn = (11)
= (n + l)qn.
Уравнение (11) — это как раз и есть база индукции, но для п + 1. Таким образом, нам остается только показать, что уравнение (10) выполняется для п = 1.
Но в этом случае оно сводится просто к {q,P} = 1, что
очевидно истинно.
Данный пример можно записать иначе, получив
далеко идущие выводы. Заметим, что nq(n — это
не что иное, как производная qn . Так что для данного случая
(12)
Теперь возьмем любой полином от q (можно даже бес-конечный степенной ряд). Применив (12) к каждому члену этого полинома и сгруппировав члены, можно, используя свойство линейности, доказать, что
(13)
Любая гладкая функция хорошо аппроксимируется полиномом, и это позволяет нам доказать уравнение (13) для любой функции q. На самом деле можно сде¬лать даже больше. Для любой функции q и р нетрудно доказать, что:
УПРАЖНЕНИЕ 1
Докажите формулу (14).
Итак, мы обнаружили новое свойство скобки Пуас-сона: взятие СП от любой функции с Pi эквивалентно дифференцированию этой функции по qt. Это можно было бы доказать, отталкиваясь непосредственно от определения СП, но я хотел продемонстрировать, что данное свойство следует из формальных аксиом.
А что, если взять скобку Пуассона от F(q,p) с qt? Ответ предсказуем из соображений симметрии вхож-дения р и q во все аксиомы. Можно даже догадаться, какой знак будет в ответе:
{F(q,P),Pi} = dF^,P\ (15)
dqt
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
