Теоретический минимум

Комментариев нет »

Скорость изменения определяется как отношение изменения f к изменению t. Обозначим изменение ве-личины заглавной греческой буквой дельта А. Тогда изменение t будет записываться как At (это не Д х t, а изменение t). На интервале At значение / изменится от /(f) до f(t + At). Тогда изменение /, обозначаемое как А/, будет
А/ = fit + At) — fit).
Чтобы определить скорость изменения точно в мо¬мент t, надо устремить At к нулю. Конечно, когда мы это сделаем, А/ тоже устремится к нулю, но если разде¬лить А/ на At, это отношение устремится к некоторому пределу, который называется производной fit) по t:
jflfLun.Mo,,ітп^±т. (1)
dt д*->о At а*-»о At
Строгии математик может поворчать, что — трак-
dt
туется как отношение двух дифференциалов, но вы редко допустите ошибку, рассуждая подобным образом.
Давайте вычислим несколько производных. Начнем с функций, являющихся степенями t. А конкретно — проиллюстрируем метод вычисления производных на примере функции fit) = t2. Применим формулу (1) и начнем с определения fit + At):
fit + At) = it + At)2.
Вычислив (t + At)2 прямым перемножением сомно-жителей или по формуле разложения квадратного двучлена, получим
fit + At) = t2 + 2 tAt + At2.
Вычтем теперь fit):
f(t + At) — fit) = t2 + 2tAt + At2 — t2 =
= 2 tAt + At2.
Следующим шагом разделим эту формулу на At:
f(t+At)-f(t)=2tAt + M*=2t + At_
At At
Теперь становится легко найти предел при Д£ —> 0. Первый член не зависит от At и сохраняется, а второй член стремится к нулю и просто исчезает. Важно четко усвоить правило: члены более высокого порядка по At при вычислении производных можно игнорировать. Таким образом,
Ді->0 Д£
А значит, производная t2
= 21.
dt
Далее рассмотрим общий случай степенной функ¬ции: fit) = tn. Для взятия этой производной надо вы¬числить f(t + At) — (t + At)n. Тут пригодится школьный курс алгебры: результат получается по биномиальной формуле. Для любых двух чисел а и b она позволяет разложить (а + Ъ)п:
(а + Ь)п =ап + пап~1Ь + — ап~2Ь2 + — — ап~3Ь3 +… + Ьп.
у ’ 2 2-3