Теоретический минимум

Комментариев нет »

УПРАЖНЕНИЕ 2
Уравнения Гамильтона можно записать в форме 4 = и р = {р>Н}. Пусть гамильтониан име¬
ет вид Н = — Р2 +^(?). Используя аксиомы СП, выведите ньютоновские уравнения движения.
Угловой момент
В лекции 7 я объяснил связь между вращательной симметрией и сохранением углового момента. Чтобы освежить память, я кратко рассмотрю это на приме¬ре частицы, движущейся в плоскости х, у. Запишем формулы для бесконечно малого поворота в форме:
Ьх = efx = -8 у, 8х = efy = ex.
Далее, предположив, что лагранжиан инвариан¬тен относительно поворота, выведем сохраняющуюся величину
Q = Pxfx+ Pyfy,
поменяв знак, получим то, что называется угловым моментом L:
L = xpy — ypx.
Теперь я хочу перейти в трехмерное пространство, где угловой момент становится вектором. Уравнение
(16) сохраняет силу, но приобретает новый смысл: оно становится правилом, описывающим поворот системы вокруг оси г:
5x = efx = -8 y,
dy = efy = EX,
52 = 0.
Уравнение (17) также не меняется, за исключени¬ем того, что его левую часть мы интерпретируем как 2-компоненту углового момента. Другие две его компоненты также легко вычислить, а можно просто получить выражения для них циклической подстановкой х —> у, у z, z х в уравнение (17):
Lz = хру — урх,
Lx=ypz-zpy,
Ly — zpx — xpz.
Как и следовало ожидать, все компоненты вектора L сохраняются, если система обладает вращательной симметрией относительно любой оси.
Теперь рассмотрим некоторые скобки Пуассона, включающие угловой момент. Например, СП от х, у иге Lz:
{x,Lz} = [x,(xpy-ypx)\,
{y,Lz} = {y,(xpv-ypx)}, (19)
{z,Lz} = [z,(xpy-ypx)}.
Можно вычислить эти СП, исходя из определения (1) или используя аксиомы.