Фазовое пространство и уравнения Гамильтона
Гамильтониан важен потому (в числе других причин), что он равен энергии. Но его значение гораздо глубже: он служит основой для коренной модернизации клас-сической механики и он еще важнее для квантовой механики.
Лагранжева — основанная на действии — форму-лировка механики концентрируется на траектории системы в пространстве конфигураций. Эта траектория описывается координатами q(t). Уравнения для нее являются дифференциальными уравнениями второго порядка, так что знать начальные координаты недо-статочно; надо также знать и начальные скорости.
Гамильтонова формулировка концентрируется на фазовом пространстве. Это пространство содержит как координаты qh так и сопряженные импульсы р,. Фактически q и р рассматриваются единообразно,
а движение системы описывается ее траекторией в фазовом пространстве. Математически это описа¬ние задается набором функций q^t), Pi(t). Заметьте, что число измерений у фазового пространства вдвое больше пространства конфигураций.
Что мы выигрываем от удвоения числа измерений? Ответ заключается в том, что уравнения движения становятся дифференциальными уравнениями перво¬го порядка. Если выражаться в не столь техническом стиле, это означает, что будущее предопределено, если мы знаем только начальные положения в фазовом пространстве.
Первый шаг в рассмотрении гамильтоновой фор-мулировки состоит в том, чтобы избавиться от д, и заменить их на pt. Цель этого в том, чтобы выразить гамильтониан как функцию qt и pt. Для частиц в обыч-ных декартовых координатах импульсы и скорости — это почти одно и то же, они различаются лишь мно¬жителем, который равен массе. Как обычно, хорошей иллюстрацией служит частица на прямой линии.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
