Математическая интерлюдия: набла
Введем фиктивный вектор, обозначаемый V. Он на-зывается набла и обозначается перевернутой буквой дельта (Д). Компоненты V — не числа, а символы частных производных:
На первый взгляд формулы (1) кажутся абсурдны¬ми. Компоненты вектора должны быть числами, а не символами производных. Да и вообще, символы про-изводных сами по себе лишены смысла — от чего они производные? Хитрость в том, что V никогда не встре-чается в одиночестве. Так же как и символ производной d ~ *
—, он должен на что-то действовать, должна быть dx
какая-то функция, подлежащая дифференцированию. Например, V может действовать на скалярное поле вроде температуры. Компоненты VT будут иметь вид
и это действительно компоненты полноценного век-торного поля — градиента температуры. Подобным образом можно получить градиент любого скалярного поля.
Теперь давайте определим дивергенцию векторного поля. Это делается по аналогии со скалярным про-изведением двух векторов V ■ А = VXAX + VyAy + VZAZ , которое, к слову сказать, является скаляром. Дивер-генция вектора — тоже скаляр. Возьмем векторное поле А(х). Дивергенция А — это скалярное про¬изведение V и А, иначе говоря, V A. Смысл этого обозначения легко понять по аналогии с обычным скалярным произведением:
(2)
Рассмотрим векторное произведение двух векторов
V и А , которое дает новый вектор. Компоненты век-торного произведения:
(VxA)x=VyA2-V2Ay, (VxA) =V2AX-VXA2,
У
(VxA)z=VxAy-VyAx.
А вот более экономный способ записать его с исполь-зованием символа Леви-Чивиты:
(VxA)t=Y,I?tl*viAi-
І Ь
УПРАЖНЕНИЕ 1
Проверьте формулу (3), а также докажите, что ViA,—V}A=2>y*(fxA)
Подставим теперь в формулу (3) фиктивный вектор
V вместо V :
j k илі
Или, в явном виде:
ду дг
дАх дАг
дг дх
дАу сАх
дх ду
Таким образом, начав с векторного поля А(х), мы построили новое векторное поле V х А путем диффе-ренцирования А неким особым образом. Это векторное поле называют ротором А .
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
