Есть несколько полезных правил, которые надо помнить при работе с производными. Все их можно
доказать, если вы хотите поупражняться. Первое правило состоит в том, что производная константы всегда равна 0. Это очевидно; ведь производная — это скорость изменения, а константа никогда не меняется, так что
*=0.
dt
Если умножить функцию на постоянный коэффи-циент, то ее производная также умножится на этот коэффициент:
d(cf) _ ,df_ dt dt
Пусть заданы две функции /(£) и g(t). Их сумма — тоже функция, а ее производная
d(f + g) _ d(f) | d(g) dt dt dt
Это правило дифференцирования суммы.
Произведение тех же функций — еще одна функ¬ция, производная которой вычисляется по правилу
dt dt dt
которое, естественно, называется производной произ-ведения.
Далее, пусть g(t) — функция t, a f(g) — функция g. Тогда f будет сложной функцией t. Если нужно полу-чить / для определенного значения t, то сначала надо вычислить git). Затем, зная g, можно вычислить fig). Вычислить производную f по t совсем нетрудно:
df = df dg dt dg dt
Это правило дифференцирования сложной функции. На¬писанное выше соотношение было бы очевидным тож¬деством, будь производная на самом деле отношением; в этом случае числитель и знаменатель можно было бы просто сократить на dg. В действительности это один из тех случаев, когда наивный ответ оказывается вер¬ным. В отношении сложных функций важно помнить, что можно искусственно вводить функцию git), чтобы упростить f{t), превратив ее в fig). Например, если
№ = In (f3)
и надо вычислить —, то t3 под логарифмом может
dt
представлять проблему. Поэтому введем промежуточ¬ную функцию g = t3, так что fig) = In g. Теперь можно применить правило дифференцирования сложной функции:
df _ df dg dt dg dt
Используя наши формулы для производных: ^L = —
dg dg g и — = ot*, получаем dt
df 312 dt g
Или после подстановки g = t3:
df _ 312 З dt t3 t
Вот так обычно и применяется правило дифференци-рования сложной функции.
Пользуясь вышеприведенными правилами, можно вычислить массу различных производных. По сути это все, что составляет основы дифференциального исчисления.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
