Конечно, это приблизительный подсчет, но он становится точным, если устремить ширину прямо-угольников к нулю. Чтобы выполнить эту процедуру,
70
разделим сначала интервал между t = aut-b на N подынтервалов — каждый шириной At. Рассмотрим прямоугольник, расположенный у определенного зна-чения t. Его ширина составляет At, а высота соответ-ствует значению f{t) в данной точке. Отсюда площадь отдельного прямоугольника 8А равна
5А = f{t) At.
Теперь сложим площади всех отдельных прямоуголь-ников и получим приближенное значение искомой площади:
где заглавная греческая буква сигма (Е) означает сумму величин с последовательными значениями і. Таким образом, при N = 3 получаем
з
І
= f(ti)At + f(t2)At + f(t3)At.
Здесь tt — положение і-го прямоугольника на оси t.
Для получения точного ответа надо перейти к пре-делу, устремив At к нулю, число прямоугольников при этом возрастет до бесконечности. Такой предел называется определенным интегралом f(t) от t = а до t = b и записывается в виде
ь
А = ^f(t}dt = lim ^fiti^At.
а і
Знак интеграла (j) заменяет символ суммирования, a At, как и в дифференциальном исчислении, заменя¬ется на dt. Функция f(t) называется подынтегральным выражением.
Внесем изменение в обозначения и назовем один из пределов интегрирования Т. А именно заменим b на Г и рассмотрим интеграл
т
\f(t)dt,
а
где Т мы будем считать переменной величиной вме¬сто t. В этом случае интеграл определяет функцию параметра Т, который может принимать любые зна¬чения t. Такой интеграл является функцией Т, по¬тому что имеет определенное значение для каждого значения Т:
т
F(T) = \f(t)dt.
а
Получается, что задание функции f(t) определяет вторую функцию F(T). Можно было бы позволить
также варьировать и предел а, но мы не станем этим заниматься. Функция F(T) называется неопределен-ным интегралом f(t). Неопределенным — потому что вместо интегрирования от одного фиксированного значения до другого мы интегрируем до переменной величины. Обычно такой интеграл записывается без обозначения пределов интегрирования:
(1)
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
