Тут вы можете возразить, что в уравнении движения должно быть магнитное поле, а вовсе не векторный потенциал. Мы знаем, что векторный потенциал не определен однозначно, а раз так, то не получим ли мы другой ответ, выполнив калибровочное преобразование A =A + Vs? Давайте посмотрим, что случится с дей¬ствием, если мы его применим.
Важная для нас часть действия — это член, по-явившийся из уравнения (13):
В этом уравнении AL — часть действия, добавленная в попытке учесть силу Лоренца (отсюда индекс L). Допустим, что мы меняем А , добавляя к нему Vs. Очевидно, что это вызовет добавление к AL члена
‘О
Но если приглядеться внимательно, то все сводится к очень простому выражению; dt в числителе и зна¬менателе сокращаются:
И тогда вся эта штука равна просто разности между значениями s в начале и в конце траектории. Други¬ми словами, калибровочное преобразование добавляет к действию член Si -s0 , где s0 и si — значения s в на¬чальной и конечной точках траектории соответствен¬но. Иначе говоря, изменение действия в результате калибровочного преобразования составляет
Si -s0.
Приводит ли такое изменение к каким-либо отличиям в уравнениях движения? Вспомним, о чем в точности говорит принцип наименьшего действия. Если в про¬странстве и времени заданы две точки хо, to и Xi,
11, то есть много соединяющих их траекторий, но частица пройдет только по одной из них. Истинная траектория — та, на которой действие минимизиру¬ется, или, точнее, делается стационарным. Так что мы занимаемся тем, что исследуем все траектории, соединяющие данные точки, пока не найдем решение со стационарным действием. Из этого принципа выво¬дятся уравнения движения Эйлера—Лагранжа.
Как видно из уравнения (15), калибровочное пре-образование меняет действие, но только если ме¬
няются граничные точки. Если же они остаются неподвижными, изменение в действии не оказывает влияния. Стационарность относится только к вари¬ациям траектории без движения концевых точек. Получается, что действие изменилось, но уравнения движения — нет, равно как и их решения. Мы го¬ворим, что уравнения движения и их решения кали¬бровочно-инвариантны.
И еще немного жаргона: поскольку есть много раз¬ных вариантов векторного потенциала, описывающих одну и ту же физическую ситуацию, выбор среди них одного определенного называется калибровкой. Напри¬мер, уравнения (8) и (9) — это две разные калибровки, описывающие одно и то же однородное магнитное поле. Физический принцип, согласно которому ре¬зультаты любого эксперимента не могут зависеть от выбора калибровки, называется калибровочной инва-риантностью.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
