Теоретический минимум

Комментариев нет »

Вернемся теперь к выводу закона сохранения энер¬гии. Для этого подставим формулу (5) в уравнение движения (4):
5F({x})
mixi= ALiZ. (6)
дХі
Далее умножим каждое из уравнений (6) на соответ-ствующую скорость xt и просуммируем:
£т,вд=-£і,^М1. (7)
і і і Итак, мы проделали с обеими частями уравнения те же манипуляции, что и в нашем одномерном при¬мере. Определим кинетическую энергию как сумму кинетических энергий по всем координатам:
Т = —’S’mix?.
2 j
Это как раз то, что дает нам обе части уравнения (7). Сначала получим левую часть:
cLT
Z
miXiX;
dt
а теперь — правую:
у- . ЭУ({х}) dV
і 1 дХі dt
Таким образом, (7) можно переписать в виде
cLT dV л
+ = 0. (8)
dt dt
В точности как в одномерном случае уравнение (8) говорит, что производная полной энергии по времени равна нулю — энергия сохраняется.
Чтобы представить себе, что происходит, вообрази¬те ландшафт, по которому без трения катится шарик. Всякий раз, когда шарик теряет высоту, он набирает скорость, а когда катится вверх, — теряет. Наши вы-числения говорят, что это происходит особым образом, а именно так, что сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергий.
Возможно, вам интересно, почему силы в природе всегда представляют собой градиенты (производные) одной функции. В следующей главе мы переформу-лируем классическую механику на основе принципа наименьшего действия. В этой формулировке в нее изначально «встраивается» наличие функции потен-циальной энергии. Но тогда тот же вопрос можно за¬дать и о принципе наименьшего действия. В конечном счете ответ можно проследить до законов квантовой механики и источника сил в теории поля — области физики, которая пока еще нам недоступна. Но причем тут квантовая теория поля? В какой-то момент мы сдаемся и говорим, что просто так уж оно устроено. Или не сдаемся и продолжаем допытываться.