Частное дифференцирование
Анализ функций многих переменных — это прямое обобщение анализа для одной переменной. Вместо функции, зависящей от одной переменной t, рассмо¬трим функцию нескольких переменных. Для опреде¬ленности назовем их х, у, z, хотя это не обязатель¬но координаты в обычном пространстве. К тому же переменных может быть больше или меньше, чем три. Давайте также рассмотрим функцию этих трех переменных V(x, у, z). Для каждого набора значений х, у, z существует единственное значение V(x, у, z), которое, как мы предполагаем, плавно меняется, когда мы меняем координаты.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных крутится вокруг понятия частной произ-водной. Допустим, мы исследуем окрестность точки х, у, z и хотим узнать скорость, с которой меняется V, когда мы изменяем х, зафиксировав значения у и г.
Мы можем просто представить себе, что у и z — это
постоянные параметры, так что единственной пере-менной является х. Производной V будет тогда
cLV AV
— =1im—, (1)
dx Ах
где AV определяется как
AV = V([x + Ax],y,z)-V(x,y,z). (2)
Заметим, что в определении AV меняется только х, а у и z остаются зафиксированными.
Производная, определяемая формулами (1) и (2), называется частной производной V по переменной х и обозначается
дУ
дх
или, когда надо подчеркнуть, что у и z остаются не-изменными,
f dV дх
\
Таким же способом можно определить частную производную по любой другой переменной:
dV AV — = lim .
ду Ді/->о /\у
Краткая форма записи частной производной V по у:
дУ дУ
Частные производные тоже можно брать много-
dV
кратно. Если ——, в свою очередь, рассматривать как
дх
функцию х, у, z, то ее можно дифференцировать. Та¬ким образом можно определить частную производную по х второго порядка:
d2V
дх2
Имеют смысл также и смешанные производные. На-пример, можно продифференцировать d„V по х:
У
д2У
дхду
Интересный и важный факт состоит в том, что сме-шанные производные не зависят от порядка, в котором выполняется дифференцирование. Иначе говоря,
д2У _ д2У дхду дудх
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
