Великое достижение Ньютона, в известном смысле положившее начало современной физике, состояло в том, что он объяснил кеплеровские законы движе¬ния планет на основе собственных законов движения, включая обратно-квадратичный закон тяготения. Вспомним три закона Кеплера:
К1. Орбита любой планеты является эллип-сом, в одном из фокусов которого находится Солнце.
К2. Отрезок, соединяющий планету с Солн-цем, заметает равные площади за равные ин-тервалы времени.
КЗ. Квадрат орбитального периода планеты
прямо пропорционален кубу радиуса ее орбиты.
Начнем с К1, закона эллипсов. Выше объяснялось, что круговые орбиты соответствуют положению равно¬весия в минимуме эффективного потенциала. Однако существуют движения эффективной одномерной си¬стемы, при которых она колеблется взад и вперед, а не пребывает в минимуме. Такого рода движение периодически приближает Землю к Солнцу и отдаляет от него. Между тем в силу наличия углового момен¬та L, Земля должна также двигаться вокруг Солнца. Другими словами, угол 0 увеличивается со временем. Получающаяся траектория, вдоль которой расстояние колеблется, а угловая координата растет, является эллиптической. На рис. 5 показана как раз такая эллиптическая орбита. Если проследовать вдоль этой орбиты, следя только за радиальным расстоянием, то окажется, что Земля периодически движется к центру и обратно, как если бы она колебалась в эффективном потенциале.
Доказать, что орбита будет в точности эллипти¬ческой, не так просто, и мы не станем сейчас этим заниматься.
Посмотрим на движение частицы в эффективном потенциале немного с другой стороны. Вообразим ча-стицу со столь большой энергией, что она полностью вырывается из потенциальной ямы. Такая частица приходит по орбите из бесконечности, отскакивает от потенциального барьера вблизи г = 0 и улетает прочь, чтобы никогда больше не вернуться. Подобные тра-ектории называют разомкнутыми гиперболическими орбитами.
Рис. 5. Эллиптическая орбита Земли вокруг Солнца
Перейдем к К2. Согласно второму закону Кеплера, по мере того как радиус-вектор поворачивается, пло¬щадь, которую он заметает за единицу времени, всегда остается постоянной. Это похоже на закон сохранения, и это действительно сохранение углового момента. Вернемся к уравнению (7) и разделим его на массу т:
г20 _ Р®_’ (15)
т
Представим себе радиальную линию, заметающую площадь. За короткое время dt угол изменится на dQ.
Рис. 6. Площадь, заметаемая линией, соединяющей Землю и Солнце, за короткое время dt
Небольшой треугольник, заметенный на рис. 6, имеет площадь
5А = -г250.
2
Можете убедиться в этом, используя тот факт, что площадь треугольника равна половине основания (г), умноженного на высоту (г 50). Если разделить эту величину на малый интервал времени dt, получится
dA г2 L — 0. dt 2
А теперь применим принцип сохранения углового мо-мента в форме (15) и получим окончательное уравнение:
dA Dii
= -£$-. (16)
dt 2т
Поскольку PQ (а также т) не меняется, мы видим, что темп заметания площади остается постоянным и, более того, он прямо пропорционален угловому моменту орбиты.
Перейдем, наконец, к КЗ: квадрат орбитального периода планеты прямо пропорционален кубу радиуса ее орбиты.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
