Симметрии более общего вида
Прежде чем переходить к связи между симметрия¬ми и законами сохранения, давайте обобщим наше представление о симметрии. Пусть qt — координаты абстрактной динамической системы. Общая идея бесконечно малого преобразования состоит в том, что это небольшой сдвиг координат, который сам может зависеть от значения координат. Этот сдвиг параметризуется бесконечно малым параметром 8 и имеет вид
5 vQi = Л(д)8. (13)
Иначе говоря, каждая координата сдвигается на ве-личину, пропорциональную 8, но коэффициент про-порциональности зависит от того, где вы находитесь в пространстве конфигураций. В примере (6) значения /1 и /2 равны 1. В примере (7) эти функции равны соответственно fi = а и = -Ь. Но в более сложном примере вращения (12) функции f не являются кон¬стантами:
fx = У. fy = -X
Если мы хотим знать изменение скоростей — напри¬мер, для того чтобы вычислить изменение лагран¬жиана, — нам надо просто продифференцировать уравнение (13). Несложные выкладки дают
Mi (14)
Например, из (12) получаем
= уд,
(15)
Ъ^у хЗ.
Теперь мы можем переформулировать понятие сим-метрии в применении к случаю бесконечно малых величин. Непрерывная симметрия — это бесконечно малое преобразование координат, при котором из-менение лагранжиана равно нулю. При непрерывной симметрии убедиться в инвариантности лагранжиана особенно легко: все, что нужно сделать, — это прове¬рить, равна ли нулю вариация лагранжиана в первом порядке. Если да, то имеет место симметрия.
Теперь давайте рассмотрим, какие следствия дает симметрия.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
