Скобка Пуассона
О чем думали французские математики девятнад¬цатого века, когда они изобретали эти невероятно красивые — и чрезвычайно формальные — мате¬матические способы осмысления механики? (Сам Гамильтон в порядке исключения был ирландцем.) Как они дошли до принципа наименьшего действия, уравнения Лагранжа, гамильтонианов, теоремы Лиу¬вилля? Решали ли они физические задачи? Или они просто играли с уравнениями и смотрели, насколь¬ко симпатичными можно их сделать? Я думаю, что было и то и другое, во всем этом они достигли неве¬роятных успехов. Но по-настоящему удивительный успех пришел только в двадцатом веке, когда была открыта квантовая механика. Такое впечатление, словно прежнее поколение математиков состояло из провидцев, которые изобрели точные аналоги позд¬нейших квантовых концепций.
И это не все. Существует еще одна формулировка механики, которая кажется по-настоящему пророче¬ской. Ей мы обязаны французскому математику Пу¬ассону, чья фамилия по-французски означает «рыба». Чтобы обосновать идею скобки Пуассона, рассмотрим какую-нибудь функцию qt и р;. Примером может слу¬жить кинетическая энергия системы, зависящая от р, потенциальная энергия, зависящая от q, и угловой момент, зависящий от р и q. Существует, конечно, и множество других интересных величин. Не задавая конкретной функции, назовем ее просто F(q, р).
О функции F(q, р) можно думать двояко. Прежде всего это функция положения в фазовом простран¬стве. Но если мы следуем за движением любой точки по фазовому пространству, а значит, за фактической траекторией системы, то вдоль нее значение F будет меняться. Иными словами, движение системы вдоль конкретной траектории превращает F в функцию времени. Рассчитаем, как F меняется в ходе движе¬ния выбранной точки, вычислив производные F по времени:
Общая схема должна быть уже ясна: мы используем уравнения Гамильтона для производных q и р по времени:
Я не знаю точно, чем занимался Пуассон, когда он изо-брел свою скобку, но подозреваю, что он просто устал записывать правую часть уравнения (8) и решил сокра-тить ее, введя новое обозначение. Возьмем любые две функции, заданные на фазовом пространстве, G(q, р) и F(q, р). Не важно, какой они имеют физический смысл и является ли одна из них гамильтонианом. Скобка Пуассона от F и G определяется как
(9)
С их помощью Пуассон избавился от утомительного переписывания уравнения (8). Вместо него он смог писать
(Ю)
Ценность уравнения (10) в том, как много смыслов оно в себе содержит. Производная по времени от чего угодно дается скобкой Пуассона от этой вещи и га¬мильтониана. В них даже содержатся сами уравнения Гамильтона. Чтобы убедиться в этом, допустим, что F(q, р) является просто одной из координат q:
Qk ={qk,H}-
Теперь если мы выведем выражение для скобки Пуассона от qt и Н, то обнаружим, что в нем имеется всего один член, а именно тот, в котором координата
ясно, что скобка Пуассона [qk,H} равна просто ,
дР „
и тем самым мы восстановили первое из уравнении Гамильтона. Второе уравнение, как нетрудно заметить, эквивалентно
pk ={pk,H}.
Заметьте, что в этой формулировке два уравнения имеют одинаковый знак. Различие в знаке скрыто в определении скобки Пуассона.
Французское стремление к элегантности принес¬ло здесь свои плоды. Скобка Пуассона превратилась в одну из самых фундаментальных операций кванто¬вой механики — коммутатор.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
