При движении частицы вдоль оси х эти два типа энергии по отдельности меняются, но всегда так, что их сумма сохраняется неизменной. Докажем, что про¬изводная Е по времени равна нулю.
Сначала вычислим скорость изменения кинети¬ческой энергии. Масса предполагается постоянной, однако v2 может меняться. Производная и2 по вре¬мени:
= 2и—-2vv.
dt dt
УПРАЖНЕНИЕ 1
Докажите уравнение (3). Подсказка: используй¬те правило дифференцирования произведения.
Отсюда производная кинетической энергии по времени:
Т = mvv = mva,
где производная скорости по времени заменена на ускорение.
Теперь вычислим скорость изменения потенциаль¬ной энергии. Тут главное понять, что V(x) меняется во времени, потому что меняется х. Вот формула, которая это выражает:
dV _ dV dx dt dx dt
(Производную вполне допустимо считать отношением
и сокращать на dx в числителе и знаменателе.) Другой
способ записи этого уравнения состоит в том, чтобы dx
заменить — скоростью v: dt
dV dV
= v.
dt dx
(Будьте внимательны и не путайте V и V.)
Теперь мы можем вычислить скорость изменения полной энергии:
E=T+V=
dV
= тиал v.
dx
Отметим, что поскольку оба члена содержат множи¬тель v, его можно вынести за скобки:
-І-/ — С/ //ИЛ/ 1 •
v dx j
Рассмотрим выражение в скобках. Учитывая тот факт, что производная V связана с силой, и не забы¬вая о знаке «минус» в формуле (1), мы получаем, что изменение Е задается формулой
Ё = v^ma-F^x)).
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
