Симметрия и сохранение
Вернемся к уравнению (21), смысл которого в том, что вариация любой величины под действием вращения пропорциональна СП от этой величины с L;. Более того, L, оказывается величиной, которая сохраняется в силу инвариантности относительно вращения. Это интересная связь, и было бы любопытно узнать, на¬сколько общий характер она имеет. Позвольте мне привести пару других примеров на эту тему. Рассмо¬трим частицу на прямой. Если имеет место транс¬ляционная симметрия, импульс р будет сохраняться. Возьмем теперь СП от любой функции х с р:
Чему равно изменение F(x) при бесконечно малом перемещении на величину е?
dF
о F = е ,
dx
или
5 F =
А вот еще пример. Если система обладает сим¬метрией относительно переноса во времени, то ее гамильтониан сохраняется. Чем является малое из¬менение некой величины при сдвиге во времени? Вы уже догадались — СП от этой величины с Н.
Посмотрим, можем ли мы обобщить эту взаимо¬связь. Пусть G(q, р) — любая функция координат и импульсов системы. Я использую букву G, посколь¬ку собираюсь называть эту функцию генератором. А генерирует она малые сдвиги точек фазового про¬странства. По определению мы смещаем каждую точку в фазовом пространстве на величину 5qt, dpi, где
5 qi ={quG},
(25)
6Pi={pi,G}.
Уравнение (25) генерирует бесконечно малое преоб-разование фазового пространства. Это преобразование, генерируемое функцией G, может быть или не быть симметрией системы. Что в точности означает утверж-дение о том, что это — симметрия? Это означает, что независимо от того, с чего начать, преобразование не
меняет энергию. Иными словами, если под действием преобразования, генерируемого G, 5Н = 0, тогда это преобразование является симметрией. Таким образом, можно записать условие симметрии:
{Я, G} = 0. (26)
Но уравнение (26) можно трактовать и иначе. По¬скольку обмен местами двух функций в СП меняет только знак, (26) можно представить в виде
{G, Н) = 0, (27)
что является утверждением о том, что G сохраняется. Можно выразиться иначе: скобка Пуассона, которая говорит нам, как меняется Н под влиянием преобра-зования, генерируемого G, также говорит нам, как G меняется во времени.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
