Некоторые простые примеры решения ньютоновских уравнений
Простейший из всех примеров — это частица, на ко¬торую не действуют силы. В уравнении движения (2) подставим ноль вместо силы:
dv т— = О, dt
или, используя точку для обозначения производной,
mv = 0.
Можно отбросить массу как постоянный множитель и записать это уравнение покомпонентно:
vx = 0, vy=0, vz — 0.
Решение элементарно: компоненты скорости постоян¬ны и просто равны их начальным значениям:
Ux(*) = i>x(°). (3)
То же самое происходит с двумя другими компонен¬тами. Полученный нами результат, кстати, часто на¬зывают первым законом движения Ньютона:
Любое тело в состоянии равномерного прямолиней¬ного движения стремится сохранять это состояние движения, пока к нему не будет приложена внешняя сила.
Уравнения (1) и (2) называются вторым законом движения Ньютона:
Связь между массой т объекта, его ускорением а и приложенной силой F задается уравнением
F = та.
Но, как мы видели, первый закон — это просто част¬ный случай второго закона, когда сила равна нулю .
Вспомнив о том, что скорость — это производная положения, мы можем записать уравнение (3) в виде
x = vx(0).
Это простейшее возможное дифференциальное урав¬нение, решение которого (для всех компонент) запи¬сывается в виде
y{t) = yo + vy(0)t, z(t) = z +и (0)f.
Или, в векторной форме,
r(t) = r0 + v0t.
Более сложное движение получается в случае при¬ложения постоянной силы. Пусть для начала она дей¬ствует только в направлении г. Разделив уравнение движения на т, получаем
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
