Воспринимайте лагранжиан как функцию положе¬ния х и скорости х. Он является функцией положе¬ния, поскольку потенциальная энергия зависит от х, и функцией скорости, поскольку кинетическая энер¬гия зависит от х:
L = L(x, Х).
Теперь можно записать действие как интеграл ла-гранжиана:
Принцип стационарности действия совершенно порази-телен. Такое впечатление, словно частица обладает сверхъестественной способностью ощущать все возмож¬ные траектории и выбирать среди них одну, на которой действие оказывается стационарным. Остановимся не-надолго и посмотрим, что мы делаем и куда движемся.
Процесс минимизации действия — это обобщение минимизации функции. Действие — это не обычная функция нескольких переменных. Оно зависит от бесконечного числа переменных — от всех координат в каждый момент времени. Мысленно заменим непре-рывную траекторию «стробоскопической», состоящей из миллиона точек. Каждая точка задается координа¬той х, но вся траектория задана, лишь когда указан весь миллион значений х. Действие — это функция всей траектории, а значит, оно является функцией миллиона переменных. Минимизация действия вклю¬чает миллион уравнений.
Время в действительности не является дискретным, а траектория — это функция бесконечного непрерыв¬ного множества переменных. Если выразить это иначе, траектория задается функцией х(£), а действие — это функция функции. Такая величина — функция функ¬ции, значение которой зависит от функции в целом, — называется функционалом. Минимизацию функцио-налов изучает особая ветвь математики, называемая вариационным исчислением.
Тем не менее, несмотря на отличия от обычных функций, условие стационарности действия очень сильно напоминает условие для стационарной точки функции. Фактически оно имеет в точности тот же вид, что и формула (4) в интерлюдии 3, а именно
SA = 0.
Здесь, однако, вариации — это не просто небольшие смещения по нескольким координатам, а все возмож¬ные малые вариации всей траектории.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
