Если же вторая производная меньше 0, то все точки в окрестности лежат ниже стационарной точки и в ней достигается локальный максимум:
На рис. 3 показаны примеры локальных максимумов.
F(y)
Рис. 3. Локальные максимумы
Если вторая производная равна 0, то она меняет свой знак в стационарной точке, которая называется точкой перегиба:
Пример точки перегиба показан на рис. 4.
F(y)
— У
Рис. 4. Точка перегиба
Все это вместе называется проверкой по второй производной.
Стационарные точки в многомерном случае
Локальные максимумы, локальные минимумы и дру¬гие стационарные точки могут возникать и у функций более чем одной переменной. Представьте себе холми¬стый ландшафт. Высота — это функция, зависящая от двух координат, скажем долготы и широты. Назовем ее А(х, у). Вершины холмов и самые глубокие точки долин — это локальные максимумы и минимумы А(х, у). Но не только в этих местах ландшафт ста¬новится локально горизонтальным. Между парами холмов располагаются седловые точки. Пример такой точки показан на рис. 5.
Локальный максимум
Седле
точки
Локальный минимум
Рис. 5. Функция нескольких переменных
Самая вершина холма — это место, где независимо от того, в какую сторону двинуться, вы станете спу¬скаться. Нижние точки долин — прямая противопо-
ложность; здесь все пути ведут вверх. Но и там и там поверхность горизонтальна.
Есть и другие места, где поверхность горизонталь¬ная. Между двумя холмами можно найти точку, назы¬ваемую седловой (или перевалом). В седловых точках поверхность горизонтальна, но вдоль одной оси высота быстро увеличивается в обоих направлениях, а вдоль другой оси, в перпендикулярном направлении, высо¬та, наоборот, убывает. Все такие точки называются стационарными.
Давайте построим сечение нашего пространства, параллельное оси х и проходящее через локальный минимум А (рис. 6).
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
