Теперь я могу объяснить, что означает симметрия. Симметрия — это активное преобразование коорди¬нат, которое не меняет значение лагранжиана. На самом деле безразлично, где в пространстве конфигу¬раций расположена система, если преобразование не меняет лагранжиан.
Рассмотрим простейший пример: одну степень свободы с лагранжианом
Допустим, мы меняем координату q, сдвигая ее на величину 8. Иными словами, любая конфигурация заменяется другой, в которой координата q смещена (рис. 1).
А
►
—
q q + 5
Рис. 1. Смещение координаты точки q на величину 5
Если сдвиг 5 не зависит от времени (как мы будем предполагать), то скорость q не меняется и — самое главное — не меняется и лагранжиан. Другими сло¬вами, при изменении
ql -» q + 5 (5)
изменение лагранжиана будет 5L = 0.
В уравнении (5) величина 5 может быть любым числом. В дальнейшем, когда мы будем рассматривать преобразования с бесконечно малыми шагами, символ 5 будет использоваться для представления бесконечно малых величин, но пока это не имеет значения.
Можно рассмотреть более сложный лагранжиан с потенциальной энергией V(q). Если эта функция не является константой, не зависящей от q, лагранжиан при сдвиге q будет меняться. В этом случае симме¬трии нет. Симметрия, относящаяся к перемещению системы в пространстве при добавлении константы
к координатам, называется трансляционной сим-метрией, и мы еще потратим немало времени на ее обсуждение.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
