Следствия симметрии
Вычислим, насколько меняется L(g,g), когда выпол¬няется преобразование, сдвигающее д, на величину, определяемую по формулам (13), и одновременно ме-няющее qt на величину, задаваемую уравнением (14). Все, что нужно сделать, — это вычислить приращение, вызванное изменением qt, и прибавить приращение, вызванное изменением
(16)
Теперь добавим немного магии. Следите внимательно, тт <3L
Для начала вспомним, что это импульс, сопря-
8qi
женный с qh который обозначается pt. Так что первый член в уравнении (16) — Vpfiq,. Держите это в уме,
пока мы разбираемся со вторым членом -—5qt • Для
oq І
оценки членов этого типа предположим, что система движется вдоль траектории, удовлетворяющей урав-нениям Эйлера—Лагранжа
dL _ dpi
dqL dt
Объединяя эти члены, мы получаем вариацию лагранжиана
И последний магический прием состоит в использова¬нии правила дифференцирования произведения:
Какое отношение все это имеет к симметрии и со-хранению? Прежде всего по определению симметрия означает, что вариация лагранжиана равна нулю. Так что если уравнения (13) представляют симметрию, то
5L = 0 и
А теперь подставим сюда выражение симметричной операции (13) и получим
(17)
Вот оно! Закон сохранения доказан. Уравнение (17) утверждает, что некая величина
(18)
не меняется во времени. Другими словами, она со-храняется. Доказательство одновременно абстрактное и сильное. Оно не зависит от особенностей системы, а только от общей идеи симметрии. Теперь вернемся к частным примерам и рассмотрим их в свете общей теории.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
