Лекция 9. Фазовая жидкость и теорема Гиббса—Лиувилля
Ленни любил смотреть на реку, особенно следить за мелкими соринками, плывущими по поверх-ности. Он пытался представить себе, как они будут двигаться между камнями или попадая в водовороты. Но течение реки как целого — совокупное движение большого объема воды, с разделяющимися, сходящимися и обгоня¬ющими друг друга потоками, — это было за пределами его понимания.
Фазовая жидкость
Сконцентрироваться на конкретных начальных усло¬виях и следить за отдельной траекторией в фазовом пространстве — это очень естественно для класси¬ческой механики. Но есть и более широкий взгляд, который охватывает целое семейство траекторий. Вме¬сто того чтобы помещать кончик карандаша в некую точку фазового пространства и прослеживать оттуда единственную траекторию, попытаемся сделать нечто более амбициозное. Представим, что у нас бесконеч¬ное число карандашей, и используем их так, чтобы однородно заполнить точками фазовое пространство (под однородностью я имею в виду то, что плотность точек в пространстве q, р везде одинакова). Считайте эти точки частицами, составляющими воображаемую жидкость, заполняющую фазовое пространство.
Пусть теперь каждая точка перемещается согласно гамильтоновым уравнениям движения:
. ЄН Qt =—,
dpi
(1)
дн
Pi = ,
dqi
чтобы наша жидкость бесконечно текла по фазовому пространству.
Гармонический осциллятор — хороший начальный пример. В лекции 8 мы видели, что каждая точка движется по круговой орбите с постоянной угловой скоростью. (Напомню, что мы говорим о фазовом, а не о координатном пространстве. В координатном осциллятор движется взад и вперед в одном измере¬нии.) Вся жидкость в целом совершает твердотельное движение, равномерно вращаясь вокруг начала коор¬динат фазового пространства.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
