Величина Н называется гамильтонианом, и, как вы могли догадаться, она важна, поскольку (среди прочих причин) это энергия системы. Но она даже более чем важна; это центральный элемент совершенно новой формулировки механики, кото¬рая называется гамильтоновой. Но сейчас давайте
познакомимся с ней, вернувшись к простому при¬меру, движению частицы в потенциальном поле. Лагранжиан равен
L=jX*-V(X), (6)
а канонический импульс равен обычному импульсу
р = тх. (7)
Подставим (6) и (7) в уравнение (4), определение Н
Н = (тх)х х2 + V (х) =
2
= 7пх2 ~^~х2 +F(x) =
= ~~х2 +V(x).
Обратите внимание, что произошло: два члена, про-порциональных тх2 , объединяются и дают обычную кинетическую энергию, а потенциальный член стано-вится равным +V(x). Другими словами, Н просто ока-зывается обычной полной энергией — кинетической плюс потенциальной.
Это общая ситуация, которую можно проверить для любого числа частиц. Если лагранжиан есть кинетическая энергия минус потенциальная, то га-мильтониан
Я = pq-T + V =
= T + V.
Существуют системы, для которых лагранжиан имеет более сложную форму, чем просто Т — V. В некоторых случаях невозможно четко разделить кинетическую и потенциальную энергию. Тем не менее правило кон-струирования гамильтониана остается неизменным. Общее определение энергии для системы:
Энергия равна гамильтониану.
Более того, если нет явной зависимости лагранжиана от времени, то энергия Н сохраняется.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
