Теоретический минимум

Комментариев нет »

Давайте направим магнитное поле вдоль оси г, чтобы энергия Н была пропорциональна 2-компоненте L . Сводя магнитное поле, электрический заряд, ради¬ус сферы и прочие неупомянутые постоянные в одну константу со, получим выражение для интересующей нас энергии:
Н = &LZ. (24)
Приостановимся и осмотримся: что мы делаем и куда движемся? Очевидно, что без магнитного поля си¬стема вращательно симметрична, то есть энергия не меняется при повороте оси волчка. Но в магнитном поле есть относительно чего поворачиваться. Поэтому вращательная симметрия разрушается. Уравнения (23) и (24) отражают вращательную асимметрию. Но к чему она приводит? Ответ очевиден: угловой момент больше не сохраняется: нет симметрии — нет сохра¬нения. Это значит, что направление вращения будет меняться со временем. Но как именно?
Можно попробовать догадаться. Волчок — это маг¬нит, вроде стрелки компаса, и интуиция подсказывает, что угловой момент будет поворачиваться в направ¬лении к В подобно маятнику. Но это ошибка, если вращение достаточно быстрое. На самом деле угловой момент прецессирует вокруг вектора магнитного поля в точности, как гироскоп вокруг вектора гравитаци¬онного поля. Чтобы убедиться в этом, применим ме¬ханику, сформулированную через скобки Пуассона, для вывода уравнения движения вектора L .
Первым делом вспомним, что производная по вре-мени любой величины — это СП от этой величины с гамильтонианом. Применение этого правила к ком-понентам L дает
LZ={LZ,H}, LX={LX,H},
А/=>
или, с учетом (24),
Lz — со | Lz, Lz j,
Lx — со I Lx, Lz j,
Ly со I Ly, Lz j-.
Теперь смысл проясняется. Даже если мы ничего не знаем о материале волчка, о распределении по нему заряда и о том, сколько частиц вовлечено в движе¬ние, мы все равно можем решить задачу, поскольку знаем СП между всеми компонентами L . Начнем с уравнения для Lz. Поскольку в нем берется СП от компоненты Ьг с самой собой, то
Ііг = 0.
Значит, 2-компонента L не меняется. Это сразу на¬водит на мысль о том, что L вращается вокруг В подобно круговому маятнику.
Следующим шагом используем уравнения (22) для вычисления Lx и Ly\
Lx — ~ю А/ >
у coZ^.
Это не что иное, как уравнение вектора в плоскости ху, равномерно вращающегося вокруг начала коорди¬нат с круговой частотой со. Иначе говоря, L прецес- сирует вокруг вектора магнитного поля. Магия скобок Пуассона позволила нам решить задачу, не зная поч¬ти ничего, кроме того, что гамильтониан пропорцио¬нален В ■ L.