Уравнения движения
Вернемся к действию (14) и запишем лагранжиан в наиболее явной форме:
L = ^(x2+у2+z2) + -(xAx + yAy+zAz). (16) Z с
Уравнение движения Лагранжа по координате х
Рх=^’ (17)
дх
Тут появляются канонические импульсы: если вы ду¬маете, что это просто привычные произведения массы на скорость, то это не так. Корректное определение канонического импульса состоит в том, что он являет¬ся производной лагранжиана по компоненте скорости. Отсюда получается р = mv для лагранжиана обычной частицы, но с магнитным полем все меняется. Из уравнения (16) мы имеем
(18)
Это может вызвать беспокойство, поскольку ука¬зывает, что канонический импульс не является кали- бровочно-инвариантным. Так оно и есть, но мы ведь не закончили. Надо сделать еще две вещи: вычислить производную рх и найти правую часть уравнения (17). Быть может, нам повезет и все калибровочно-неинва- риантные элементы сократятся.
В левой части уравнения (17) получается
= тах + —
где ах — х-компонента ускорения.
В правой части уравнения (17) получается:
SL е (дАх . дАу . дАг . ‘
— = —х +—~у + —-г .
дх с У дх дх дх ,
Теперь объединим левую и правую части:
Уравнение (19) кажется сложным, но заметьте, что комбинации производных
дАу дАх
дх ду
дАг дАх
дх dz
мы уже встречали в уравнении (7), и это — г- и у-компоненты магнитного поля. Можно переписать уравнение (19) в гораздо более простой форме:
(20)
Приглядимся внимательнее к формуле (20). Вас долж¬ны впечатлить несколько моментов. Прежде всего то, что уравнение калибровочно-инвариантно: век¬торный потенциал полностью исчез из правой части, где вместо него появилось магнитное поле. В левой части стоит произведение массы и ускорения — то, что и должно быть в левой части ньютоновского урав¬нения. На самом деле уравнение (20) — это не что иное, как х-компонента уравнения движения Ньюто¬на—Лоренца (11).
Кто-то может удивиться: зачем мы вообще стали возиться с введением векторного потенциала? Почему
бы сразу не записать калибровочно-инвариантное урав-нение Ньютона—Лоренца? Поступить так, конечно, было можно, но тогда мы потеряли бы всякую воз¬можность формулировать уравнения на базе принципа наименьшего действия, а значит, и записать гамиль-тоновы уравнения движения. Может быть, это и не трагедия для классической теории, но это стало бы катастрофой для квантовой механики.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
