Возьмем другой случай: две частицы, движущиеся вдоль прямой, с потенциальной энергией, зависящей от расстояния между ними. Для простоты я буду считать, что их массы равны, хотя такой выбор не¬принципиален. Обозначим положения частиц хг и лг2> Лагранжиан будет иметь вид
(16)
Теперь лагранжиан зависит от обеих координат х\ и Х2, так что ни одна из них не является циклической.
Однако мы упустили важный момент. Выполним преобразование координат. Определим х+ и х_ следу-ющим образом:
(xi+x2)
х+= 2″^
(xi-x2)
х_ =-
2
Нетрудно переписать лагранжиан в новых координа¬тах. Кинетическая энергия будет
Т = m(i| + л;2).
УПРАЖНЕНИЕ 6
Объясните, как мы это получили.
Важный момент состоит в том, что потенциальная энергия зависит только от х и лагранжиан равен
L = + х2 ) — V (х_ ).
То есть здесь скрывалась циклическая координата, а именно дг+. Это значит, что импульс р+, сопряжен¬ный координате х+, сохраняется. Нетрудно увидеть, что р+ — это не что иное, как полный импульс:
р+ = 2пгх+ = mxi + mx2.
Однако по-настоящему важная идея, к которой мы придем в следующей главе, касается не циклических координат, а симметрий.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
