2. Вычислите полную кинетическую энергию. В данном случае это кинетическая энергия двух грузов.
Простейший способ сделать это — временно пере¬йти к декартовым координатам х, у. Пусть xi, у\ — это положение первого груза, а х2, у2 — второго. Вот соотношения, связывающие углы 0, а с координатами х, у. Для первого груза
Xi = sin 0,
Ух = cos 0,
а для второго груза
х2 = sin 0 + sin(a + 0),
г/2 = cos 0 + cos(a + 0).
Теперь, продифференцировав по времени, вы можете вычислить декартовы компоненты скорости, выра¬женные через углы, и их производные по времени.
Наконец, получим выражения для кинетической энергии —(х2 +1/2) каждого груза и сложим их. Это должно занять пару минут. Помните, что мы выбрали массы грузов и длины стержней равными 1. Кинетическая энергия первого груза
Т-&
Tl~T’
а кинетическая энергия второго
02+(0 + а) … .
Т2 = ———+ 0(0 + a)cosa.
Если нет гравитационного поля, то кинетическая энергия и будет лагранжианом:
02 02 +(0 + а)
Ь = ТХ+Т2 =у + у— + 0(0 + а)
При наличии гравитации надо вычислить гравита-ционную потенциальную энергию. Это нетрудно: сле¬дует добавить к лагранжиану высоту каждого груза, умноженную на mg. Вот формула для потенциальной энергии:
V (0, a) = -g[2cos0 + cos(0-a)J.
3. Выведите уравнения Эйлера—Лагранжа для каждой степени свободы.
4. На будущее выведите сопряженные импульсы
5L
для каждой координаты pt = .
dqi
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
