Если, однако, лагранжиан явно зависит от вре¬мени, тогда из уравнения (5) вытекает, что гамиль¬тониан не сохраняется. Что случается с энергией в этом случае? Для понимания того, что происходит, рассмотрим пример. Допустим, что заряженная ча¬стица с единичным электрическим зарядом движется между обкладками конденсатора. Конденсатор создает однородное электрическое поле є за счет заряда на обкладках. (Мы используем є для обозначения элек¬трического поля вместо более привычного Е, чтобы не путать его с энергией.) Вам не нужно ничего знать
об электричестве. Достаточно того, что конденсатор создает потенциальную энергию, равную ex. Лагран¬жиан равен
Пока поле остается постоянным, энергия сохраняется. Но, допустим, конденсатор заряжается, так что значе¬ние є увеличивается. Тогда лагранжиан приобретает явную зависимость от времени:
L =—Х2 -є(і)д:.
2 V ’
Теперь энергия частицы не сохраняется. В зависи¬мости от мгновенного положения х частицы энергия меняется в соответствии с формулой
dH de ~~dt~~dtX’
Откуда появляется эта энергия? Ответ: она посту¬пает от батареи, которая заряжает конденсатор.
Я не стану входить в детали, но суть в том, что когда мы определяем систему как состоящую только из частицы, мы сужаем рассмотрение лишь до одной части более крупной системы, которая включает кон¬денсатор и батарею. Эти дополнительные элементы также состоят из частиц, а значит обладают энергией.
Рассмотрим всю экспериментальную установку целиком, включая батарею, конденсатор и частицу. Эксперимент начинается с незаряженного конденсато¬ра и частицы, покоящейся где-то между обкладками. В некоторый момент мы замыкаем цепь и в конден¬сатор начинает поступать ток. На частицу начинает действовать зависящее от времени поле, и к концу экс-перимента конденсатор заряжен, а частица движется.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
