Теперь рассмотрим уравнение движения по 0. По-скольку сама величина 0 не появляется в лагранжиане (появляется только ее производная), в правой части не будет ничего и мы получим
^ = 0. (14)
dt
Иными словами, угловой момент (момент импульса) сохраняется. Уравнение (14) можно переписать в виде
—(mr20) = O. (15)
dtx ’
Отсюда видно, что г2в является константой. Вот по¬чему угловая скорость увеличивается, когда частица приближается к началу координат.
— УПРАЖНЕНИЕ 5
Примените этот результат для предсказания движения маятника с длиной I.
Циклические координаты
Как мы только что увидели, иногда бывает, что какие- то координаты сами не появляются в лагранжиане, но в него входят их производные по времени. Такие координаты называются циклическими (я не знаю, почему).
Но зато мы твердо знаем, что лагранжиан не меня-ется, когда вы меняете значение циклической коор-динаты. Всякий раз, когда появляется циклическая координата, сопряженный с ней импульс сохраняется. Угловой момент — это один пример. Другой пример — обычный импульс. Рассмотрим случай одиночной частицы с лагранжианом:
Ни одна из координат не присутствует в лагранжиане, так что все они являются циклическими. Еще раз от¬мечу, что тут нет никаких циклов — это просто такой термин. Таким образом, все компоненты импульса сохраняются. При наличии потенциальной энергии, зависящей от координат, это уже будет не так.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
