Почему все системы описываются принципом наи-меньшего действия и лагранжианами? Это нелегко объяснить, но причина очень тесно связана с кван¬товой природой классической физики. Она также тесно связана с сохранением энергии. Пока мы про¬сто примем как данность, что все известные системы в классической физике можно описать посредством принципа наименьшего действия.
Лагранжиан всегда является функцией координат и скоростей: L = L(g;, ), а принцип наименьшего
действия всегда имеет вид:
bA = b^L(qi,qi)dt = 0.
Это означает, что уравнения имеют вид уравнений Эйлера—Лагранжа. Итак, это самая общая форма классических уравнений движения. Имеется по од¬ному уравнению для каждой координаты qt:
(13)
dqi
Вот и вся классическая физика! Если вам известно, что такое qt, и вы знаете лагранжиан, то больше вам ничего не нужно.
Давайте внимательнее присмотримся к сто»
ронам уравнения (13). Начнем с выражения . До-
пустим на мгновение, что qt — это обычные декартовы
координаты частицы, a L — обычная кинетическая
энергия за вычетом потенциальной энергии. В этом
т ,9 5L
случае лагранжиан будет содержать —х , а
2 „ дЪ
станет просто тх, иными словами, компонентой им-пульса в направлении х. Поэтому мы называем
Щі
обобщенным импульсом, сопряженным С qi, или просто
сопряженным импульсом для q^.
Концепция сопряженного импульса выходит далеко за рамки простого примера, в котором импульс возни¬кает как произведение массы и скорости. В некоторых лагранжианах уловить смысл сопряженного импульса бывает нелегко, но он всегда определяется как
8L
Pi =^гг- dql
Обобщенный импульс принято обозначать pt.
При таком определении уравнения Эйлера—Ла-гранжа приобретают вид
dpi _ 8L dt dqt
Рассмотрим пару примеров, начав с частицы в по¬лярных координатах. В этом случае qt — это радиус г и угол 0. Воспользовавшись результатом упражне¬ния 4, получим лагранжиан:
L = ^{r2 + r202).
Обобщенный импульс, сопряженный с г (г-импульс), равен
дЬ
Рг= — = тг, дг
а соответствующее уравнение движения имеет вид
^J± = mr&2.
dt dr
Используя равенство рг = тг и сокращая обе части на т, можно записать
г — г02.
Особенно интересно уравнение движения для угла
0. Начнем с сопряженного импульса для 0:
дЬ 26 р0 = = тгг 0.
Э0
Вы должны узнать данную величину. Это угловой момент частицы. Угловой момент иpf) — это в точности одно и то же.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
