Когда переменных много, траекторию можно ва-рьировать множеством разных способов. Например, можно варьировать х\(t) или хг(0 и так далее. Это напоминает минимизацию функции многих перемен-ных, когда составляется по уравнению для каждой переменной. То же самое происходит и с уравнениями Эйлера—Лагранжа: их будет по одному для каждой переменной Х(. Каждое из них имеет в целом ту же форму, что и уравнение (4):
d dL dL
“Г= • (6)
at oXj ОХІ
УПРАЖНЕНИЕ 2
Покажите, что уравнение (6) является просто другой формой ньютоновского уравнения дви-жения Fi = ТПІХІ .
Что хорошего в наименьшем действии?
Для использования принципа наименьшего действия есть две основные причины. Прежде всего он сжимает
всю информацию о системе до предельно краткой фор¬мы. Все параметры (вроде масс и сил) и все уравнения движения упакованы в одну-единственную функ¬цию — лагранжиан. Если он известен, то остается лишь задать начальные условия. Это действительно большой прогресс: одна функция, совокупно описы¬вающая поведение любого числа степеней свободы. В будущих книгах мы обнаружим, что целые теории: максвелловская электродинамика, эйнштейновская теория гравитации, стандартная модель элементар¬ных частиц — все они описываются лагранжианами.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
