Вернемся к уравнениям (16). Обычно мы «думаем» в конфигурационном пространстве. Гармонический осциллятор — это система, которая движется вперед и назад вдоль определенной оси. Но это также от¬личная стартовая точка, для того чтобы начать при¬выкать «думать» в фазовом пространстве. Фазовое пространство (для осциллятора) двумерно. Нетрудно заметить, что траектории осциллятора в фазовом пространстве являются концентрическими окружно¬стями вокруг начала координат. Доказать это очень просто. Вернемся к выражению для гамильтониана
(15) . Гамильтониан, будучи энергией, сохраняется. Отсюда следует, что q2 + р2 не меняется во времени. Иными словами, расстояние от начала координат фазового пространства — это константа, и фазовая точка движется по окружности фиксированного ра¬диуса. Фактически (16) — это уравнения для точки, движущейся с постоянной угловой скоростью со вокруг начала координат. Особенно интересен тот факт, что угловая скорость в фазовом пространстве одинакова для всех орбит независимо от энергии осциллятора. По ходу обращения фазовой точки по этой окружности
Рис. 1. Гармонический осциллятор в фазовом пространстве
Проекция испытывает колебательные движения вперед и назад, в точности как и ожидалось. Однако двумерное круговое движение в фазовом простран¬стве — это более полное описание движения. Рассма¬тривая проекцию на вертикальную ось р, мы видим, что импульс тоже колеблется.
Гармонический осциллятор особенно прост. В об¬щем случае движение системы в фазовом пространстве гораздо сложнее и менее симметрично. Универсальный факт, однако, состоит в том, что фазовая точка всегда остается на контуре постоянной энергии. В дальней¬шем мы откроем более общие свойства движения в фазовом пространстве.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
