Теоретический минимум

Комментариев нет »

Начнем с двух уравнений
И последний момент, прежде чем мы запишем урав-нения движения в гамильтоновой форме: частная
dV
производная Н по х — это просто , или сила,
dx
взятая с обратным знаком. Таким образом, уравнение движения (F = та) принимает форму
• Ш (9)
дх
Ранее мы отмечали, что в гамильтоновой формулиров¬ке координаты и импульсы рассматриваются однотип¬но. Отсюда вы могли бы догадаться, что существует и другое уравнение, подобное (9), где р их меняются местами. Это почти так и есть, но лишь почти. Пра¬вильное уравнение
дН ,1П.
х = , (10)
др
где вместо знака «минус» стоит «плюс».
Чтобы понять, почему верно уравнение (10), просто продифференцируйте выражение для Н по р. Уравне¬ние (8) дает нам
дН р
др гп
что согласно первому из тех же уравнений равно про¬сто х.
Итак, мы получили очень простой симметричный пакет уравнений. У нас теперь два уравнения вместо одного, но зато оба они первого порядка:
дН
р=-£-•
. ен (11)
X = .
др
Это гамильтоновы уравнения для частицы, движущей¬ся вдоль прямой. Вскоре мы выведем их общую форму для произвольной системы, а пока я расскажу, что это такое. Начнем с гамильтониана, который является функцией всех qi и Pi:
Н = Н( qitPl).
Полученный результат можно использовать для обоб-щения уравнений (11)
дН
Pi — а >
OQi
(12)
. ен ъ = —•
CPi
Отсюда мы видим, что для каждого направления в фа-зовом пространстве имеется по одному уравнению первого порядка.