Теоретический минимум

Комментариев нет »

Лекция 10. Скобка Пуассона, угловой момент и симметрии
Ленни спросил: «Слушай, Джордж, а мы не можем повесить рыбу на скобку Пуассона?» Джордж улыбнулся: «Только если они обе тео¬ретические».
Аксиоматическая формулировка механики
Давайте абстрагируемся и установим набор правил, позволяющих манипулировать со скобкой Пуассона (далее я буду пользоваться аббревиатурой СП), не тра¬тя сил на то, чтобы явным образом ее вычислять. Вы можете проверить (пусть это будет вашим домашним заданием), что эти правила действительно вытекают из определения СП. Пусть А, В и С — это функции коор-динат pi и qt. В последней лекции я определил СП как
{А, С} = У {(1)
1 J ГІддідрі дрІ dqi
Первое свойство — это антисимметричность. Если поменять местами две функции в СП, то она сменит знак:
[А, С} = -{С, А}. (2)
В частности, это означает, что СГІ от функции, взятой самой с собой, дает ноль:
{А, А} = 0. (3)
Следующее свойство — линейность по каждому параметру. Линейность складывается из двух свойств.
Первое: если умножить А (но не С) на константу k, то СП умножается на ту же константу:
{kA,C} = k{A,C}. (4)
Второе: если сложить А + В и взять СП с С, то результат будет аддитивным:
{(А + Б), С} = {А, С} + {В, С}. (5)
Уравнения (4) и (5) определяют линейные свой¬ства СП.
Далее рассмотрим, что случится, если пере¬множить А и Б, а затем взять СП с С. Чтобы выяснить это, нам достаточно вернуться к опре¬делению СП и применить правило дифференци¬рования произведения:
д(АВ) дБ „ЄА
— — = А— + В—.
dq dq dq
То же происходит и при дифференцировании по р. Отсюда вытекает правило
{(АВ),С} = В{А,С} + А{Я,С}. (6)
• Наконец, есть некоторые особые СП, которые будут нам полезны. Прежде всего заметим, что любая из координат q или р может рассматри¬ваться как функция pi и qt. Поскольку любая СП включает производные как по Pi, так и qh то СП от любой из координат q по другой коор¬динате q равна нулю. То же верно и для СП от двух разных р:
{?<.?/} = 0,
г л (7)
{Pi,Pj\ = 0.
Но СП от q и р не равна нулю. Правило состоит в том, что {ЯІ’РІ} будет единицей, если і = j, и нулем в остальных случаях. Используя символ Кронекера, можно записать
{?/,Р/}=8у. (8)
Теперь у нас есть все, что нужно для вычисле¬ния СП. Можно забыть определение и считать уравне¬ния (2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8) набором аксиом формальной математической системы.