Теоретический минимум

Комментариев нет »

Земля движется в плоскости
Ранее мы упоминали, что задачи с центральной си¬лой обладают симметрией. Вы наверняка поняли, что это вращательная симметрия относительно начала отсчета. Ее следствием, рассмотренным в лекции 7, является сохранение углового момента. Допустим, в некоторый момент Земля имеет положение г и ско¬рость и . Эти два вектора определяют плоскость, в ко¬торой лежит и Солнце, — это мгновенная плоскость земной орбиты.
Вектор углового момента L пропорционален вектор-ному произведению г х v , так что он перпендикулярен как г , так и v (рис. 2). Другими словами, угловой момент перпендикулярен к плоскости орбиты. В ком¬бинации с сохранением углового момента это очень
важный факт. Сохранение говорит нам, что вектор L никогда не меняется. Отсюда можно заключить, что никогда не меняется и плоскость орбиты. Пусть для простоты земная орбита и Солнце постоянно лежат в определенной фиксированной плоскости. Зная это, можно повернуть координаты так, чтобы орбита лежа¬ла в плоскости х, у. Вся задача становится двумерной, а третья координата, г, перестает играть какую-либо роль.
L

Рис. 2. Взаимосвязь между угловым моментом L, вектором положения г и скоростью и
Полярные координаты
Можно работать в декартовых координатах х, у, но задачи с центральной силой гораздо проще решать в полярных координатах г, 0:

X
COS0 = —.
Г
В них несложно записать кинетическую энергию Земли:

(2)

Потенциальная энергия записывается еще проще — в нее вообще не входит 9:

(3)

Уравнения движения
Как это часто бывает, простейший путь к уравнени¬ям движения дает метод Лагранжа. Вспомним, что лагранжиан — это разность кинетической и потен-циальной энергий: L-T-V. С учетом уравнений (2) и (3), лагранжиан в полярных координатах имеет вид

Уравнения движения
d_dI^_dL dt dr dr ’
d dL _dL dt в явном виде записываются как
GM
г = г92 —
г
И
—(тг2 0) = 0. (6)
dty ‘
Последнее из этих уравнений имеет вид закона сохра-нения. И неудивительно, что это сохранение углово¬го момента. (Если быть точными, то это сохранение 2-компоненты углового момента.) Традиционно угло¬вой момент обозначается буквой L, но мы задейство-вали ее для лагранжиана, так что будем использовать
обозначение р0. Если известно значение pQ в какой-то определенный момент, то оно известно и во все осталь-ные моменты. Можно записать
/пг20 = ре (7)
и просто пользоваться как известной константой.
Это позволяет выразить угловую скорость через расстояние Земли от Солнца. Просто решим уравнение (7) относительно 0
0 = -^®-. (8)
тгг
Мы еще вернемся к этому соотношению между угло¬вой скоростью и радиальным расстоянием, но сначала давайте обратимся к уравнению для г, а именно
• GMm
mr = mrQz . (9)
г2
В уравнении (9) присутствует угловая скорость, но с помощью (8) ее можно исключить:
РІ GMm
mr = з 2 ‘ (10)
тг6 гг
Это уравнение для г имеет интересную интерпре¬тацию. Оно выглядит как уравнение движения по одной координате г под действием комбинированной «эффективной» силы:
_ pi GMm
эфф — Г ; • (11)
тг6 гг GMm
Член — — это просто сила тяготения, а вот
Г2.
другой член может поначалу вызвать удивление. На самом деле это не что иное, как фиктивная центро¬бежная сила, действующая на частицу, имеющую определенную угловую скорость относительно начала отсчета.
Полезно представлять себе, что (11) действительно описывает движение частицы под действием сово¬купной силы, которая включает как реальную силу тяготения, так и центробежную силу. Конечно, для каждого значения углового момента мы должны ис¬пользовать свое р^, но пока р0 сохраняется, его можно рассматривать как фиксированную величину.
При заданной эффективной силе можно построить функцию эффективной потенциальной энергии, которая учитывает действие притяжения и центробежной силы:
_ Pi GMm
эфф 2 тг* г • (12)
Нетрудно проверить, что
Г, _ ^эфф
~ dr ‘
Для всех практических целей можно считать, буд¬то движение по г — это поведение частицы, кинети-
тг2
ческая энергия которой имеет обычную форму ,
потенциальная энергия — ^Эфф, а лагранжиан
GMm. (13)
* 2 2пгг2 г