Теорема Лиувилля
Вернемся к потоку жидкости в фазовом пространстве и рассмотрим компоненты скорости жидкости в каж¬дой точке фазового пространства. Нет надобности говорить, что фазовая жидкость не является трехмер¬ной в координатах х, у, г. Она является 2ІУ-мерной жидкостью в координатах ph qt. Таким образом, име¬ется 2N компонент поля скоростей — по одной для каждой координаты q и каждой координаты р. Обо¬значим ИХ Vq. И Vp..
Понятие дивергенции, выраженное уравнением (4), легко обобщается на любое число измерений. В трех измерениях — это сумма производных от компонент скорости по соответствующим направлениям. Точно так же она определяется для любого числа измерений. В случае фазового пространства дивергенция потока — это сумма 2N членов:
(5)
Если жидкость несжимаема, то это выражение должно быть равно нулю. Чтобы вычислить его, нужно знать компоненты поля скоростей — они, конечно, не что иное, как скорости частиц фазовой жидкости.
Вектор течения в данной точке идентифицируется со скоростью воображаемой частицы в этой точке. Иными словами,
vP, = Pi
Причем (jt и pi — это как раз те величины, которые входят в уравнения Гамильтона (1):
Все, что нужно сделать, — это подставить уравнения (6) в формулу (5) и получить
Вспомнив, что вторая производная вида
зависит от порядка дифференцирования, мы поймем, что члены уравнения (7) попарно в точности уничто¬жают друг друга:
Vu = 0.
Итак, фазовая жидкость несжимаема. В классиче¬ской механике несжимаемость фазовой жидкости называется теоремой Лиувилля, хотя она не имеет почти никакого отношения к французскому мате¬матику Джозефу Лиувиллю. Первым в 1903 году ее опубликовал великий американский физик Джозайя Уиллард Гиббс, и она также известна как теорема Гиббса—Лиувилля.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
