Гамильтониан
Прежде чем обсуждать гамильтониан заряженной частицы в магнитном поле, давайте вернемся к опре-делению импульса частицы. Оно по-прежнему мо¬жет вас смущать. Дело в том, что есть два разных понятия: механический импульс и канонический импульс. Первый вы изучали в элементарной меха¬нике (импульс равен произведению массы и скорости), а второй — в теоретической механике (канонический импульс равен производной от лагранжиана по скоро¬сти). В простейшем случае, когда лагранжиан — это просто разность кинетической и потенциальной энер¬гий, эти два типа импульсов совпадают, потому что единственная зависимость от скорости приходит из выражения -mu2.
Но как только лагранжиан усложняется, эти два типа импульсов могут начать различаться. В урав¬нении (18) мы находим тому пример. Канонический
импульс — это механический импульс плюс член, пропорциональный векторному потенциалу. Это можно записать в векторном виде:
(21)
Механический момент не только хорошо нам знаком, но еще и калибровочно-инвариантен. Его можно непо-средственно наблюдать, и в этом смысле он «реален». Канонический момент незнаком и менее «реален»; он меняется, когда выполняется калибровочное преоб-разование. Но, так или иначе, он все же реален и не-обходим, если надо выразить механику заряженных частиц на языке лагранжианов и гамильтонианов.
Для перехода к гамильтониану вспомним его опре-деление:
что в нашем случае дает
Давайте разберемся. Прежде всего надо избавиться от скоростей; гамильтониан всегда мыслится как функ¬ция координат и импульсов. Это несложно. Мы про¬сто разрешим уравнение (21) относительно скорости, выразив ее через р:
Теперь везде, где в уравнении (22) появляются ком-поненты скорости, заменим их по формуле (23) и не¬много преобразуем выражение. Получится
УПРАЖНЕНИЕ 4|
Используя гамильтониан (24), выведите урав-нения движения Гамильтона и покажите, что мы вновь приходим к уравнению движения Ньютона—Лоренца.
Если внимательно посмотреть на уравнение (24), то можно увидеть нечто слегка удивительное. Выраже¬ние pt—Aj(x) — это механический импульс ту,-.
с
Гамильтониан — это не что иное, как
Н = —ти2. 2
Иными словами, его численное значение — это то же самое, что самая обычная кинетическая энергия. Это доказывает (помимо прочих вещей), что энергия калибровочно-инвариантна. Поскольку эта величина сохраняется, обычная кинетическая энергия также сохраняется, если только магнитное поле не меня¬ется во времени. Но это не означает, что магнитное поле не влияет на движение частицы. Если вы хо¬тите использовать гамильтониан для нахождения
уравнений движения, то должны выразить его через канонические импульсы, а не через скорости, а за¬тем использовать уравнения Гамильтона. Или же, напротив, вы можете работать со скоростями и ис¬пользовать лагранжеву форму уравнений, но в этом случае лагранжиан уже не является обычной кине¬тической энергией. В любом случае, если вы все это проработаете, то обнаружите, что заряженная частица испытывает воздействие калибровочно-инвариантной магнитной силы Лоренца.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
